Учебник по алгебре для 9 класса авторов Макарычева и Миндюка представляет собой комплексный ресурс, предназначенный для углубленного изучения алгебры на уровне средней школы. Он охватывает ключевые темы, соответствующие образовательным стандартам, и помогает учащимся подготовиться к экзаменам.
Основные характеристики:
- Структурированное содержание: Учебник разделен на логически завершенные главы, каждая из которых посвящена отдельной теме, что облегчает процесс обучения и повторения материала.
- Теоретические материалы: Каждая глава начинается с изложения теоретических основ, что позволяет учащимся понять ключевые концепции и методы решения задач.
Заключение:
Учебник Макарычева и Миндюка по алгебре — это надежный инструмент для изучения предмета, который сочетает в себе теорию, практику и методические рекомендации, что делает его незаменимым помощником для каждого ученика.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 1 Номер 190 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Степень в виде корня:
a)
\( 3^{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}; \)
\( 5^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{125}; \)
\( 0,2^{0,5} = 0,2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{0,2}; \)
\( 7^{-0,25} = 7^{-\frac{1}{4}} = \frac{1}{\sqrt[4]{7}}; \)
б)
\( x^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{x^3}; \)
\( a^{12} = a^5 = \sqrt[5]{a^6}; \)
\( b^{-0,8} = b^{-\frac{4}{5}} = \frac{1}{\sqrt[5]{b^4}}; \)
\( c^{\frac{2}{3}} = c^{\frac{2+3}{3}} = c^3 = \sqrt[3]{c^8}; \)
в)
\( 5a^{\frac{3}{4}} = 5\sqrt[4]{a} = \sqrt[4]{125a}; \)
\( ax^{\frac{5}{3}} = a\sqrt[3]{x^3} = \sqrt[5]{a^5x^3}; \)
\( -b^{-1,5} = -b^{-2} = -\frac{1}{b^3}; \)
\( (2b)^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{(2b)^3} = \sqrt[4]{2b}; \)
г)
\( (x-y)^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{(x-y)^2}; \)
\( x^2 — y^3 = \sqrt[3]{x^2} — \sqrt[3]{y^2}; \)
д)
\( 3(a+b)^{\frac{3}{4}} = 3\sqrt[4]{(a+b)^3} = \sqrt[4]{81(a+b)^3}; \)
\( 4a^{\frac{2}{3}} + ax^{\frac{3}{4}} = \sqrt[3]{\frac{1}{a^2} + a\sqrt[4]{x^2}} = \sqrt[3]{\frac{64}{a^2} + \sqrt[4]{a^3x^2}}. \)
Преобразование степеней в корни
а) Преобразование степеней в корни:
1. \( 3^{\frac{1}{2}} = \sqrt{3} \)
Степень \( \frac{1}{2} \) эквивалентна извлечению квадратного корня.
2. \( 5^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{125} \)
Степень \( \frac{3}{4} \) эквивалентна извлечению четвертого корня из \( 125 \), так как \( 5^3 = 125 \).
3. \( 0,2^{0,5} = 0,2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{0,2} \)
Степень \( 0,5 \) или \( \frac{1}{2} \) эквивалентна извлечению квадратного корня из \( 0,2 \).
4. \( 7^{-0,25} = 7^{-\frac{1}{4}} = \frac{1}{\sqrt[4]{7}} \)
Отрицательная степень с дробным показателем эквивалентна обратному значению четвертого корня из 7.
б) Преобразование степеней в корни:
1. \( x^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{x^3} \)
Степень \( \frac{3}{4} \) эквивалентна извлечению четвертого корня из \( x^3 \).
2. \( a^{12} = a^5 = \sqrt[5]{a^6} \)
В данном случае, выражение \( a^{12} = a^5 \cdot a^7 = \sqrt[5]{a^6} \) представляет собой степень, которая может быть преобразована в корень с показателем 5.
3. \( b^{-0,8} = b^{-\frac{4}{5}} = \frac{1}{\sqrt[5]{b^4}} \)
Отрицательная степень с дробным показателем \( \frac{4}{5} \) эквивалентна обратному значению пятого корня из \( b^4 \).
4. \( c^{\frac{2}{3}} = c^{\frac{2+3}{3}} = c^3 = \sqrt[3]{c^8} \)
Преобразуем дробную степень \( \frac{2}{3} \) в корень с показателем 3, получаем \( \sqrt[3]{c^8} \).
в) Преобразование степеней в корни:
1. \( 5a^{\frac{3}{4}} = 5\sqrt[4]{a} = \sqrt[4]{125a} \)
Для выражения \( 5a^{\frac{3}{4}} \) мы извлекаем четвертый корень из \( a \), получая \( 5 \cdot \sqrt[4]{a} \). Преобразование также возможно для произведения, получаем \( \sqrt[4]{125a} \).
2. \( ax^{\frac{5}{3}} = a\sqrt[3]{x^3} = \sqrt[5]{a^5x^3} \)
Преобразуем степень с дробным показателем \( \frac{5}{3} \) в корень, получая \( a \cdot \sqrt[3]{x^3} \), а также можно преобразовать в пятую степень, получив \( \sqrt[5]{a^5x^3} \).
3. \( -b^{-1,5} = -b^{-2} = -\frac{1}{b^3} \)
Отрицательная степень с дробным показателем \( -1,5 \) эквивалентна отрицательной степени \( b^{-2} \), что превращается в \( -\frac{1}{b^3} \).
4. \( (2b)^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{(2b)^3} = \sqrt[4]{2b} \)
Степень \( \frac{3}{4} \) эквивалентна извлечению четвертого корня из произведения \( (2b)^3 \), и результат можно записать как \( \sqrt[4]{2b} \).
г) Преобразование степеней в корни:
1. \( (x-y)^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{(x-y)^2} \)
Преобразуем дробную степень \( \frac{2}{3} \) в корень, получаем \( \sqrt[3]{(x — y)^2} \).
2. \( x^2 — y^3 = \sqrt[3]{x^2} — \sqrt[3]{y^2} \)
Эта запись ошибочна: степень не распределяется по вычитанию. Верно будет так: \( x^2 — y^3 \neq \sqrt[3]{x^2} — \sqrt[3]{y^2} \). Операция извлечения корня не может быть применена к разности.
д) Преобразование степеней в корни:
1. \( 3(a+b)^{\frac{3}{4}} = 3\sqrt[4]{(a+b)^3} = \sqrt[4]{81(a+b)^3} \)
Степень \( \frac{3}{4} \) эквивалентна извлечению четвертого корня из \( (a + b)^3 \), и можно преобразовать в \( \sqrt[4]{81(a + b)^3} \).
2. \( 4a^{\frac{2}{3}} + ax^{\frac{3}{4}} = \sqrt[3]{\frac{1}{a^2} + a\sqrt[4]{x^2}} = \sqrt[3]{\frac{64}{a^2} + \sqrt[4]{a^3x^2}} \)
Применяем преобразования степеней к каждому члену, для выражения \( 4a^{\frac{2}{3}} \) получаем \( \sqrt[3]{\frac{1}{a^2}} \), для \( ax^{\frac{3}{4}} \) преобразуем в \( \sqrt[4]{x^2} \), что дает вид \( \sqrt[3]{\frac{64}{a^2} + \sqrt[4]{a^3x^2}} \).
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.