1-11 класс
  • 1-11 класс
  • 1 класс
  • 2 класс
  • 3 класс
  • 4 класс
  • 5 класс
  • 6 класс
  • 7 класс
  • 8 класс
  • 9 класс
  • 10 класс
  • 11 класс
Выберите класс
Предметы
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Учебник 📕 Макарычев, Миндюк — Все Части
Алгебра
9 класс учебник Макарычев
9 класс
Тип
ГДЗ, Решебник.
Автор
Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И.
Год
2019-2024.
Описание

ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 1 Номер 124 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Задача
Постройте график функции и опишите её свойства:
а) у = 1×2/3 — 4х + 4; б) у = -1х2/4 + х — 1; в) y = х2 + 3х.
Краткий ответ:

a) \( y = \frac{1}{3}x^2 — 4x + 4 \);

Вершина параболы:

\( x_0 = \frac{-(-4)}{2 \cdot \frac{1}{3}} = \frac{4}{\frac{2}{3}} = 6; \)
\( y_0 = 12 — 24 + 4 = -8; \)

Координаты точек:

x039
y4-5-5

График функции:

Нули функции:

\( \frac{1}{3}x^2 — 4x + 4 = 0; \)
\( x^2 — 12x + 12 = 0; \)
\( D = 12^2 — 4 \cdot 12 = 144 — 48 = 96, \text{тогда:} \)
\( x = \frac{12 \pm \sqrt{16 \cdot 6}}{2} = \frac{12 \pm 4\sqrt{6}}{2} = 6 \pm 2\sqrt{6}; \)

Свойства функции:

\( D(x) = (-\infty; +\infty); \)
\( E(y) = [-8; +\infty); \)
\( y = 0 \text{ при } x = 6 \pm 2\sqrt{6}; \)
\( y < 0 \text{ при } 6 — 2\sqrt{6} < x < 6 + 2\sqrt{6}; \)
\( y > 0 \text{ при } x < 6 — 2\sqrt{6} \text{ и } x > 6 + 2\sqrt{6}; \)
Функция возрастает на \([6; +\infty); \)
Функция убывает на \((-\infty; 6]; \)
Унаим = \( y(6) = -8; \)

b) \( y = -\frac{1}{4}x^2 + x — 1; \)

Вершина параболы:

\( x_0 = -\frac{1}{2 \cdot \left(-\frac{1}{4}\right)} = \frac{4}{2} = 2; \)
\( y_0 = -1 + 2 — 1 = 0; \)

Координаты точек:

x468
y-1-4-9

График функции:

Свойства функции:

\( D(x) = (-\infty; +\infty); \)
\( E(y) = (-\infty; 0]; \)
\( y = 0 \text{ при } x = 2; \)
\( y < 0 \text{ при } x < 2 \text{ и } x > 2; \)
Функция возрастает на \((-\infty; 2]; \)
Функция убывает на \([2; +\infty); \)
Унаиб = \( y(2) = 0; \)
Ун = \( x^2 + 3x; \)

Вершина параболы:

\( x_0 = -\frac{3}{2 \cdot 1} = -\frac{3}{2} = -1,5; \)
\( y_0 = \frac{9}{4} — \frac{9}{2} = -\frac{9}{4} = -2,25; \)

Координаты точек:

x-101
y-204

График функции:

Свойства функции:

\( D(x) = (-\infty; +\infty); \)
\( E(y) = [-2,25; +\infty); \)
\( y = 0 \text{ при } x = -3 \text{ и } x = 0; \)
\( y < 0 \text{ при } -3 < x < 0; \)
\( y > 0 \text{ при } x < -3 \text{ и } x > 0; \)
Функция возрастает на \([-1,5; +\infty); \)
Функция убывает на \((-\infty; -1,5]; \)
Унаим = \( y(-1,5) = -2,25; \)
Подробный ответ:

a) \( y = \frac{1}{3}x^2 — 4x + 4 \);

Вершина параболы:

Шаг 1: Мы должны найти абсциссу вершины параболы с помощью формулы для её нахождения. Формула для абсциссы вершины параболы, заданной уравнением \( y = ax^2 + bx + c \), выглядит так:

\( x_0 = \frac{-b}{2a} \), где \( a = \frac{1}{3} \) и \( b = -4 \).

Подставляем значения:

\( x_0 = \frac{-(-4)}{2 \cdot \frac{1}{3}} = \frac{4}{\frac{2}{3}} = 4 \cdot \frac{3}{2} = 6; \)

Шаг 2: Теперь, зная \( x_0 = 6 \), подставим это значение в исходное уравнение, чтобы найти ординату вершины параболы:

\( y_0 = \frac{1}{3}(6)^2 — 4(6) + 4 \)

Выполняем вычисления:

\( y_0 = \frac{1}{3}(36) — 24 + 4 = 12 — 24 + 4 = -8; \)

Ответ: Вершина параболы находится в точке \( (6; -8) \).

Координаты точек:

Теперь рассмотрим несколько точек на графике функции. Подставляем различные значения для \( x \) и находим соответствующие значения \( y \):

x039
y4-5-5

График функции:

Парабола открывается вверх, так как коэффициент при \( x^2 \) положительный (\( \frac{1}{3} \)). Вершина параболы — точка минимума, её значение на оси \( y \) равно \( -8 \), и парабола пересекает ось \( y \) в точке \( y = 4 \), когда \( x = 0 \).

Нули функции:

\( \frac{1}{3}x^2 — 4x + 4 = 0; \)
\( x^2 — 12x + 12 = 0; \)
\( D = 12^2 — 4 \cdot 12 = 144 — 48 = 96, \text{тогда:} \)
\( x = \frac{12 \pm \sqrt{96}}{2} = \frac{12 \pm 4\sqrt{6}}{2} = 6 \pm 2\sqrt{6}; \)

Ответ: Нули функции находятся в точках \( x = 6 \pm 2\sqrt{6} \), где парабола пересекает ось \( x \).

Свойства функции:

\( D(x) = (-\infty; +\infty); \)
\( E(y) = [-8; +\infty); \)
\( y = 0 \text{ при } x = 6 \pm 2\sqrt{6}; \)
\( y < 0 \text{ при } 6 — 2\sqrt{6} < x < 6 + 2\sqrt{6}; \)
\( y > 0 \text{ при } x < 6 — 2\sqrt{6} \text{ и } x > 6 + 2\sqrt{6}; \)
Функция возрастает на \([6; +\infty); \)
Функция убывает на \((-\infty; 6]; \)
Унаим = \( y(6) = -8; \)

b) \( y = -\frac{1}{4}x^2 + x — 1; \)

Вершина параболы:

Шаг 1: Используем формулу для нахождения абсциссы вершины параболы \( x_0 = \frac{-b}{2a} \), где \(a = -\frac{1}{4}\), а \(b = 1\). Подставляем эти значения:

\( x_0 = -\frac{1}{2 \cdot \left(-\frac{1}{4}\right)} = \frac{4}{2} = 2; \)

Шаг 2: Подставляем \( x_0 = 2 \) в уравнение для нахождения ординаты вершины \( y_0 \):

\( y_0 = -\frac{1}{4}(2)^2 + 2 — 1 = -\frac{1}{4}(4) + 2 — 1 = -1 + 2 — 1 = 0; \)

Ответ: Вершина параболы находится в точке \( (2; 0) \).

Координаты точек:

x468
y-1-4-9

Свойства функции:

\( D(x) = (-\infty; +\infty); \)
\( E(y) = (-\infty; 0]; \)
\( y = 0 \text{ при } x = 2; \)
\( y < 0 \text{ при } x < 2 \text{ и } x > 2; \)
Функция возрастает на \((-\infty; 2]; \)
Функция убывает на \([2; +\infty); \)
Унаиб = \( y(2) = 0; \)

Часть 3:

Вершина параболы:

Шаг 1: Используем формулу для нахождения абсциссы вершины параболы \( x_0 = \frac{-b}{2a} \), где \(a = 1\), а \(b = 3\). Подставляем эти значения:

\( x_0 = -\frac{3}{2 \cdot 1} = -\frac{3}{2} = -1.5; \)

Шаг 2: Подставляем \( x_0 = -1.5 \) в уравнение для нахождения ординаты вершины \( y_0 \):

\( y_0 = (-1.5)^2 + 3(-1.5) = \frac{9}{4} — \frac{9}{2} = -\frac{9}{4} = -2.25; \)

Ответ: Вершина параболы находится в точке \( (-1.5; -2.25) \).

Координаты точек:

x-101
y-204

Свойства функции:

\( D(x) = (-\infty; +\infty); \)
\( E(y) = [-2.25; +\infty); \)
\( y = 0 \text{ при } x = -3 \text{ и } x = 0; \)
\( y < 0 \text{ при } -3 < x < 0; \)
\( y > 0 \text{ при } x < -3 \text{ и } x > 0; \)
Функция возрастает на \([-1.5; +\infty); \)
Функция убывает на \((-\infty; -1.5]; \)
Унаим = \( y(-1.5) = -2.25; \)


Общая оценка
4.5 / 5
Комментарии
Другие учебники
Другие предметы
Как выбрать ГДЗ по математике

Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.