ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 1 Номер 123 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

y = 2x² + 8x + 2

Вершина параболы:

Координата x₀ находится по формуле:

x₀ = -b / (2a)

Подставим значения коэффициентов:

• a = 2
• b = 8

Вычислим:

x₀ = -8 / (2 * 2) = -8 / 4 = -2

Теперь найдём y₀, подставив x₀ = -2 в уравнение:

y₀ = 2(-2)² + 8(-2) + 2

Выполним вычисления:

y₀ = 8 — 16 + 2 = -6

Координаты вершины: (-2, -6)

Координаты точек:

Задана функция: \( y = 2x^2 + 8x + 2 \)

1. Вершина параболы:

Для нахождения вершины параболы используем формулу для абсциссы вершины параболы:
\[
x_0 = \frac{-b}{2a}, \quad \text{где} \, a = 2, \, b = 8.
\]

Подставляем значения:
\[
x_0 = \frac{-8}{2 \cdot 2} = \frac{-8}{4} = -2
\]

Таким образом, абсцисса вершины параболы \(x_0 = -2\).

Найдем ординату вершины (значение функции в точке вершины): Подставим \(x_0 = -2\) в исходную функцию:
\[
y_0 = 2(-2)^2 + 8 \cdot (-2) + 2 = 8 — 16 + 2 = -6
\]

Таким образом, вершина параболы находится в точке \((-2, -6)\).

Ответ: Вершина параболы — точка \((-2, -6)\).

2. Координаты точек:

Для \(x = -1\):
\[
y = 2(-1)^2 + 8 \cdot (-1) + 2 = 2 — 8 + 2 = -4
\]

Таким образом, точка на графике при \(x = -1\) имеет координаты \((-1, -4)\).

Для \(x = 0\):
\[
y = 2(0)^2 + 8 \cdot 0 + 2 = 0 + 0 + 2 = 2
\]

Таким образом, точка на графике при \(x = 0\) имеет координаты \((0, 2)\).

Для \(x = 1\):
\[
y = 2(1)^2 + 8 \cdot 1 + 2 = 2 + 8 + 2 = 12
\]

Таким образом, точка на графике при \(x = 1\) имеет координаты \((1, 12)\).

Ответ: Координаты точек:
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
x & -1 & 0 & 1 \\
\hline
y & -4 & 2 & 12 \\
\hline
\end{array}
\]

а. Значения функции:

Для \(x = -2.3\): Подставляем \(x = -2.3\) в уравнение функции:
\[
y(-2.3) = 2(-2.3)^2 + 8 \cdot (-2.3) + 2 = 2 \cdot 5.29 — 18.4 + 2 =\]

\[10.58 — 18.4 + 2 = -5.82 \approx -5.8
\]

Таким образом, \(y(-2.3) \approx -5.8\).

Для \(x = -0.5\): Подставляем \(x = -0.5\) в уравнение функции:
\[
y(-0.5) = 2(-0.5)^2 + 8 \cdot (-0.5) + 2 =\]

\[2 \cdot 0.25 — 4 + 2 =0.5 — 4 + 2 = -1.5
\]

Таким образом, \(y(-0.5) \approx -1.5\).

Для \(x = 1.2\): Подставляем \(x = 1.2\) в уравнение функции:
\[
y(1.2) = 2(1.2)^2 + 8 \cdot 1.2 + 2 = 2 \cdot 1.44 + 9.6 + 2 =\]

\[2.88 + 9.6 + 2 = 14.48 \approx 14.5
\]

Таким образом, \(y(1.2) \approx 14.5\).

Ответ:
\[
y(-2.3) \approx -5.8, \quad y(-0.5) \approx -1.5, \quad y(1.2) \approx 14.5
\]

б. Значения аргумента:

Для \(y = -4\): Решим уравнение для \(y = -4\):
\[
2x^2 + 8x + 2 = -4 \quad \Rightarrow \quad 2x^2 + 8x + 6 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 + 4x + 3 = 0
\]

Решаем квадратное уравнение:
\[
x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 — 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1} =\]

\[\frac{-4 \pm \sqrt{16 — 12}}{2} =\]

\[ \frac{-4 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{-4 \pm 2}{2}
\]

\[
x_1 = -3, \quad x_2 = -1
\]

Для \(y = -1\): Решим уравнение для \(y = -1\):
\[
2x^2 + 8x + 2 = -1 \quad \Rightarrow \quad 2x^2 + 8x + 3 = 0
\]

Решаем квадратное уравнение:
\[
x = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 — 4 \cdot 2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} = \frac{-8 \pm \sqrt{64 — 24}}{4} = \frac{-8 \pm \sqrt{40}}{4} = \frac{-8 \pm 2\sqrt{10}}{4}
\]

Приближённо:
\[
x_1 \approx -3.6, \quad x_2 \approx -0.4
\]

Для \(y = 1.7\): Решим уравнение для \(y = 1.7\):
\[
2x^2 + 8x + 2 = 1.7 \quad \Rightarrow \quad 2x^2 + 8x + 0.3 = 0
\]

Решаем квадратное уравнение:
\[
x = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 — 4 \cdot 2 \cdot 0.3}}{2 \cdot 2} = \frac{-8 \pm \sqrt{64 — 2.4}}{4} = \frac{-8 \pm \sqrt{61.6}}{4}
\]

Приближённо:
\[
x_1 \approx -3.9, \quad x_2 \approx -0.1
\]

Ответ:
\[
y = -4 \quad \Rightarrow \quad x_1 = -3, \quad x_2 = -1
\]

\[
y = -1 \quad \Rightarrow \quad x_1 \approx -3.6, \quad x_2 \approx -0.4
\]

\[
y = 1.7 \quad \Rightarrow \quad x_1 \approx -3.9, \quad x_2 \approx -0.1
\]

в. Значения функции:

Для \(y = 0\): Мы уже нашли, что \(x_1 \approx -3.7\), \(x_2 \approx -0.3\).

Для \(y < 0\): Парабола направлена вверх (так как коэффициент перед \(x^2\) положительный), и она принимает отрицательные значения на интервале \((-3.7, -0.3)\), так как между этими корнями функция убывает. Поэтому:
\[
y < 0 \quad \text{при} \quad -3.7 < x < -0.3
\]

Для \(y > 0\): Парабола принимает положительные значения за пределами интервала \((-3.7, -0.3)\), то есть для \(x < -3.7\) и \(x > -0.3\):
\[
y > 0 \quad \text{при} \quad x < -3.7 \quad \text{или} \quad x > -0.3
\]

Ответ:
\[
y = 0 \quad \Rightarrow \quad x_1 \approx -3.7, \quad x_2 \approx -0.3
\]

\[
y < 0 \quad \Rightarrow \quad -3.7 < x < -0.3 \] \[ y > 0 \quad \Rightarrow \quad x < -3.7 \quad \text{или} \quad x > -0.3
\]

г. Промежутки монотонности:

Функция возрастает на интервале \([-2, +\infty)\), так как после вершины параболы (при \(x_0 = -2\)) функция начинает возрастать.

Функция убывает на интервале \((- \infty, -2]\), так как до вершины парабола убывает.

Минимальное значение функции на вершине равно \(y_{\text{min}} = -6\), так как это точка минимума для данной функции. Следовательно, область значений функции:
\[
y_{\text{min}} = y(-2) = -6
\]

Ответ:
\[
\text{Функция возрастает на} \ [-2, +\infty)
\]

\[
\text{Функция убывает на} \ (-\infty, -2]
\]

\[
y_{\text{min}} = -6
\]