ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 1 Номер 122 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Постройте график функции у = -х2 + 2х + 8 и найдите, используя график:
а) значение функции при х = 2,5; -0,5; -3;
б) значения аргумента, при которых у = 6; 0; -2;
в) нули функции и промежутки знакопостоянства;
г) промежутки возрастания и убывания функции, область значений функции.
y = -x² + 2x + 8;
Вершина параболы:
x₀ = -2 / 2·(-1) = 2 / 2 = 1;
y₀ = -1 + 2 + 8 = 9;
Координаты точек:
x | 2 | 3 | 4
y | 8 | 5 | 0
а Задана функция: \( y = -x^2 + 2x + 8 \)
Вершина параболы:
Функция \(y = -x^2 + 2x + 8\) представляет собой параболу, так как это квадратичная функция, а её график — парабола.
Для нахождения вершины параболы используется формула для абсциссы вершины параболы:
\[
x_0 = \frac{-b}{2a}, \quad \text{где} \, a = -1, \, b = 2.
\]
Подставляем значения:
\[
x_0 = \frac{-2}{2 \cdot (-1)} = \frac{2}{2} = 1
\]
Это означает, что абсцисса вершины параболы (точка, где функция достигает своего максимума или минимума) находится при \(x_0 = 1\).
Найдем ординату вершины (значение функции в точке вершины): Подставим \(x_0 = 1\) в исходную функцию:
\[
y_0 = -1^2 + 2 \cdot 1 + 8 = -1 + 2 + 8 = 9
\]
Таким образом, вершина параболы находится в точке \((1, 9)\), что означает, что на оси \(x\) эта точка имеет координату \(1\), а на оси \(y\) — координату \(9\).
Ответ: Вершина параболы — точка \((1, 9)\).
Координаты точек:
Для \(x = 2\):
\[
y = -(2)^2 + 2 \cdot 2 + 8 = -4 + 4 + 8 = 8
\]
Таким образом, точка на графике при \(x = 2\) имеет координаты \((2, 8)\).
Для \(x = 3\):
\[
y = -(3)^2 + 2 \cdot 3 + 8 = -9 + 6 + 8 = 5
\]
Таким образом, точка на графике при \(x = 3\) имеет координаты \((3, 5)\).
Для \(x = 4\):
\[
y = -(4)^2 + 2 \cdot 4 + 8 = -16 + 8 + 8 = 0
\]
Таким образом, точка на графике при \(x = 4\) имеет координаты \((4, 0)\).
Ответ: Координаты точек:
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
x & 2 & 3 & 4 \\
\hline
y & 8 & 5 & 0 \\
\hline
\end{array}
\]
Значения функции:
Для \(x = 2.5\): Подставляем \(x = 2.5\) в уравнение функции:
\[
y(2.5) = -(2.5)^2 + 2 \cdot 2.5 + 8 = -6.25 + 5 + 8 = 6.75 \approx 6.8
\]
Таким образом, \(y(2.5) \approx 6.8\).
Для \(x = -0.5\): Подставляем \(x = -0.5\) в уравнение функции:
\[
y(-0.5) = -(-0.5)^2 + 2 \cdot (-0.5) + 8 = -0.25 — 1 + 8 = 6.75 \approx 6.8
\]
Таким образом, \(y(-0.5) \approx 6.8\).
Для \(x = -3\): Подставляем \(x = -3\) в уравнение функции:
\[
y(-3) = -(-3)^2 + 2 \cdot (-3) + 8 = -9 — 6 + 8 = -7
\]
Таким образом, \(y(-3) = -7\).
Ответ:
\[
y(2.5) \approx 6.8, \quad y(-0.5) \approx 6.8, \quad y(-3) = -7
\]
б. Значения аргумента:
Для \(y = 6\): Решим уравнение для \(y = 6\):
\[
-x^2 + 2x + 8 = 6 \quad \Rightarrow \quad -x^2 + 2x + 2 = 0
\]
Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:
\[
x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 — 4 \cdot (-1) \cdot 2}}{2 \cdot (-1)} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 8}}{-2} = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{-2} = 1 \pm \sqrt{3}
\]
Приближённо:
\[
x_1 \approx -0.7, \quad x_2 \approx 2.7
\]
Для \(y = 0\): Решим уравнение для \(y = 0\):
\[
-x^2 + 2x + 8 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 — 2x — 8 = 0
\]
Находим корни:
\[
x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-8)}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{36}}{2}
\]
\[
x_1 = -2, \quad x_2 = 4
\]
Для \(y = -2\): Решим уравнение для \(y = -2\):
\[
-x^2 + 2x + 8 = -2 \quad \Rightarrow \quad -x^2 + 2x + 10 = 0
\]
Находим корни:
\[
x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 — 4 \cdot (-1) \cdot 10}}{2 \cdot (-1)} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 40}}{-2} = \frac{-2 \pm \sqrt{44}}{-2}
\]
Приближённо:
\[
x_1 \approx -2.3, \quad x_2 \approx 4.3
\]
Ответ:
\[
y = 6 \quad \Rightarrow \quad x_1 \approx -0.7, \quad x_2 \approx 2.7
\]
\[
y = 0 \quad \Rightarrow \quad x_1 = -2, \quad x_2 = 4
\]
\[
y = -2 \quad \Rightarrow \quad x_1 \approx -2.3, \quad x_2 \approx 4.3
\]
в. Значения функции:
Для \(y = 0\): Мы уже нашли, что \(x_1 = -2\), \(x_2 = 4\).
Для \(y < 0\): Поскольку парабола направлена вниз, функция принимает отрицательные значения, когда \(x\) находится за пределами интервала \([-2, 4]\). Это означает, что:
\[
y < 0 \quad \text{при} \quad x < -2 \quad \text{или} \quad x > 4
\]
Для \(y > 0\): Парабола принимает положительные значения на интервале \((-2, 4)\), так как внутри этого интервала значения функции всегда положительны:
\[
y > 0 \quad \text{при} \quad -2 < x < 4
\]
Ответ:
\[
y = 0 \quad \Rightarrow \quad x_1 = -2, \quad x_2 = 4
\]
\[
y < 0 \quad \Rightarrow \quad x < -2 \, \text{или} \, x > 4
\]
\[
y > 0 \quad \Rightarrow \quad -2 < x < 4
\]
г. Промежутки монотонности:
Функция возрастает на интервале \((- \infty, 1]\), так как до вершины параболы (\(x_0 = 1\)) функция всегда возрастает.
Функция убывает на интервале \([1, +\infty)\), так как после вершины парабола начинает убывать.
Область значений функции: максимальное значение функции на вершине равно \(9\), следовательно, область значений функции:
\[
y \leq 9, \quad E(y) = (-\infty; 9]
\]
Ответ:
\[
\text{Функция возрастает на} \ (-\infty; 1]
\]
\[
\text{Функция убывает на} \ [1; +\infty)
\]
\[
E(y) = (-\infty; 9]
\]
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.