ГДЗ по Алгебре 9 Класс Часть 1 Страница 1090 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Постройте множество точек,координаты которых удовлетворяют неравенству:

а) ху2 < х;

б) у2 — х2у + 2×2 > 2у;

в) x3+xy2-4x < =0;

г) x2y+y3-y > =0.

a)
\[
xy^2 < x;
\]
Если \(x < 0\), тогда:
\[
y^2 > 1, \, y < -1, \, y > 1;
\]
Если \(x > 0\), тогда:
\[
y^2 < 1, \, -1 < y < 1;
\]
Множество точек:

б)
\[
y^2 — x^2y + 2x^2 > 2y;
\]

\[
2x^2 — x^2y — 2y + y^2 > 0;
\]

\[
x^2(2 — y) — y(2 — y) > 0;
\]

\[
(y — 2)(y — x^2) > 0;
\]
Если \(y > 2\), тогда:
\[
y — x^2 > 0, \, y > x^2;
\]
Если \(y < 2\), тогда:
\[
y — x^2 < 0, \, y < x^2;
\]
Множество точек:

в)
\[
x^3 + xy^2 — 4x \leq 0;
\]

\[
x(x^2 + y^2 — 4) \leq 0;
\]
Если \(x \leq 0\), тогда:
\[
x^2 + y^2 — 4 \geq 0;
\]

\[
x^2 + y^2 \geq 4;
\]
Если \(x \geq 0\), тогда:
\[
x^2 + y^2 — 4 \leq 0;
\]

\[
x^2 + y^2 \leq 4;
\]
Множество точек:

г)
\[
x^2y + y^3 — y \geq 0;
\]

\[
y(x^2 + y^2 — 1) \geq 0;
\]
Если \(y \geq 0\), тогда:
\[
x^2 + y^2 — 1 \geq 0;
\]

\[
x^2 + y^2 \geq 1;
\]
Если \(y \leq 0\), тогда:
\[
x^2 + y^2 — 1 \leq 0;
\]

\[
x^2 + y^2 \leq 1;
\]
Множество точек:

Решение:

a) Решаем неравенство: \( xy^2 < x \)

Для решения этого неравенства будем рассматривать два случая в зависимости от значения \( x \).

1. Если \( x < 0 \):

В этом случае, неравенство \( xy^2 < x \) преобразуется следующим образом:

\[
y^2 > 1, \quad \text{так как, если \( x < 0 \), то умножение на \( x \) меняет знак неравенства.}
\]

Получаем, что \( y \) должно быть либо меньше \( -1 \), либо больше \( 1 \):

\[
y < -1, \quad y > 1;
\]

2. Если \( x > 0 \):

В этом случае \( xy^2 < x \) можно преобразовать как:

\[
y^2 < 1, \quad \text{так как, если \( x > 0 \), неравенство остается таким же.}
\]

Таким образом, \( y \) должно быть между \( -1 \) и \( 1 \):

\[
-1 < y < 1;
\]

Множество точек: Это означает, что при \( x < 0 \), \( y \) может быть меньше \( -1 \) или больше \( 1 \), а при \( x > 0 \), \( y \) должно быть между \( -1 \) и \( 1 \).

b) Решаем неравенство: \( y^2 — x^2y + 2x^2 > 2y \)

Преобразуем это неравенство:

\[
y^2 — x^2y + 2x^2 > 2y
\]

Переносим все в одну сторону:

\[
2x^2 — x^2y — 2y + y^2 > 0
\]

Теперь факторизуем:

\[
x^2(2 — y) — y(2 — y) > 0
\]

Далее, получаем:

\[
(y — 2)(y — x^2) > 0
\]

Теперь рассмотрим два случая:

1. Если \( y > 2 \):

Тогда \( y — x^2 > 0 \), и, следовательно, \( y > x^2 \).

2. Если \( y < 2 \):

Тогда \( y — x^2 < 0 \), и, следовательно, \( y < x^2 \).

Множество точек: Множество точек будет таким, что \( y > x^2 \) для \( y > 2 \), и \( y < x^2 \) для \( y < 2 \).

c) Решаем неравенство: \( x^3 + xy^2 — 4x \leq 0 \)

Преобразуем это неравенство:

\[
x(x^2 + y^2 — 4) \leq 0
\]

Теперь рассмотрим два случая для \( x \):

1. Если \( x \leq 0 \):

В этом случае, неравенство превращается в:

\[
x^2 + y^2 — 4 \geq 0, \quad \text{или} \quad x^2 + y^2 \geq 4
\]

2. Если \( x \geq 0 \):

В этом случае, неравенство превращается в:

\[
x^2 + y^2 — 4 \leq 0, \quad \text{или} \quad x^2 + y^2 \leq 4
\]

Множество точек: Таким образом, для \( x \leq 0 \), множество точек будет таким, что \( x^2 + y^2 \geq 4 \), а для \( x \geq 0 \), \( x^2 + y^2 \leq 4 \).

d) Решаем неравенство: \( x^2y + y^3 — y \geq 0 \)

Перепишем неравенство:

\[
y(x^2 + y^2 — 1) \geq 0
\]

Теперь рассмотрим два случая:

1. Если \( y \geq 0 \):

В этом случае, неравенство становится:

\[
x^2 + y^2 — 1 \geq 0, \quad \text{или} \quad x^2 + y^2 \geq 1
\]

2. Если \( y \leq 0 \):

В этом случае, неравенство становится:

\[
x^2 + y^2 — 1 \leq 0, \quad \text{или} \quad x^2 + y^2 \leq 1
\]

Множество точек: Таким образом, для \( y \geq 0 \), множество точек будет таким, что \( x^2 + y^2 \geq 1 \), а для \( y \leq 0 \), \( x^2 + y^2 \leq 1 \).