ГДЗ по Алгебре 9 Класс Часть 1 Страница 1089 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите уравнение

корень 3 степени (65 + x)2 + 4 корень 3 степени (65 — x)2 — 5 корень 3 степени 65^2- х2 = 0.

Решить уравнение:
\[
\sqrt[3]{(65 + x)^2} + 4\sqrt[3]{(65 — x)^2} — 5\sqrt[3]{652 — x^2} = 0;
\]

\[
\sqrt[3]{\frac{65 + x}{65 — x}} + 4\sqrt[3]{\frac{65 — x}{65 + x}} — 5 = 0, \, y = \sqrt[3]{\frac{65 + x}{65 — x}};
\]

\[
y + \frac{4}{y} — 5 = 0, \, y^2 — 5y + 4 = 0;
\]

\[
D = 5^2 — 4 \cdot 4 = 25 — 16 = 9, \, \text{тогда:}
\]

\[
y_1 = \frac{5 — 3}{2} = 1 \, \text{и} \, y_2 = \frac{5 + 3}{2} = \frac{8}{2} = 4;
\]

1) Первое значение:
\[
\sqrt[3]{\frac{65 + x}{65 — x}} = 1, \, \frac{65 + x}{65 — x} = 1;
\]

\[
65 + x = 65 — x, \, x = 0;
\]

2) Второе значение:
\[
\sqrt[3]{\frac{65 + x}{65 — x}} = 4, \, \frac{65 + x}{65 — x} = 64;
\]

\[
65 + x = 64 \cdot (65 — x);
\]

\[
65 + x = 64 \cdot 65 — 64 \cdot x;
\]

\[
65x = 63 \cdot 65, \, x = 63;
\]

Ответ: \( 0; 63 \).

Решение:

Дано уравнение:

\[
\sqrt[3]{(65 + x)^2} + 4\sqrt[3]{(65 — x)^2} — 5\sqrt[3]{652 — x^2} = 0;
\]

Для упрощения этого уравнения, начнем с введения новой переменной \( y \):

\[
y = \sqrt[3]{\frac{65 + x}{65 — x}}.
\]

Тогда выражение для уравнения примет вид:

\[
y + \frac{4}{y} — 5 = 0, \quad \text{что эквивалентно} \quad y^2 — 5y + 4 = 0.
\]

Шаг 1: Решим квадратное уравнение для \( y \)

Для уравнения \( y^2 — 5y + 4 = 0 \) находим дискриминант:

\[
D = 5^2 — 4 \cdot 4 = 25 — 16 = 9.
\]

Теперь находим корни уравнения:

\[
y_1 = \frac{5 — 3}{2} = 1 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{5 + 3}{2} = 4.
\]

Шаг 2: Находим соответствующие значения \( x \)

Первое значение для \( y_1 = 1 \):

Подставляем \( y = 1 \) в исходное выражение:

\[
\sqrt[3]{\frac{65 + x}{65 — x}} = 1 \quad \Rightarrow \quad \frac{65 + x}{65 — x} = 1.
\]

Решаем это уравнение:

\[
65 + x = 65 — x, \quad x = 0.
\]

Ответ для первого значения: \( x = 0 \).

Второе значение для \( y_2 = 4 \):

Подставляем \( y = 4 \) в исходное выражение:

\[
\sqrt[3]{\frac{65 + x}{65 — x}} = 4 \quad \Rightarrow \quad \frac{65 + x}{65 — x} = 64.
\]

Решаем это уравнение:

\[
65 + x = 64 \cdot (65 — x),
\]

Раскроем скобки:

\[
65 + x = 64 \cdot 65 — 64 \cdot x,
\]

Переносим все \( x \)-термы в одну сторону:

\[
65x = 63 \cdot 65, \quad x = \frac{63 \cdot 65}{65} = 63.
\]

Ответ для второго значения: \( x = 63 \).

Ответ: \( x = 0; 63 \).