ГДЗ по Алгебре 9 Класс Часть 1 Страница 1087 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите два натуральных числа, разность квадратов которых равна 45.

Пусть \( x \) и \( y \) данные числа:
\[
x^2 — y^2 = 45, \quad x, y \in \mathbb{N}; \quad (x — y)(x + y) = 45;
\]

1) Первое значение:
\[
x — y = 1, \quad y = x — 1;
x + y = 45, \quad 2x — 1 = 45;\]
\[2x = 46, \quad x = 23, \quad y = 22;
\]

2) Второе значение:
\[
x — y = 3, \quad y = x — 3;
x + y = 15, \quad 2x — 3 = 15;\]
\[2x = 18, \quad x = 9, \quad y = 6;
\]

3) Третье значение:
\[
x — y = 5, \quad y = x — 5;
x + y = 9, \quad 2x — 5 = 9;\]
\[2x = 14, \quad x = 7, \quad y = 2;
\]

Ответ: (23; 22); (9; 6); (7; 2).

Решение:

Дано уравнение:

\[
x^2 — y^2 = 45, \quad x, y \in \mathbb{N}; \quad (x — y)(x + y) = 45;
\]

Шаг 1: Разберемся с факторизацией

У нас есть разность квадратов, что позволяет записать ее как произведение:

\[
(x — y)(x + y) = 45.
\]

Шаг 2: Подставим различные возможные значения для \(x — y\)

Первое значение: Пусть \(x — y = 1\), тогда:

\[
x — y = 1, \quad y = x — 1;
\]

Теперь подставляем это значение во второе уравнение:

\[
x + y = 45, \quad 2x — 1 = 45;
\]

Решаем относительно \(x\):

\[
2x = 46, \quad x = 23, \quad y = 22.
\]

Ответ для первого случая: \(x = 23, y = 22\).

Шаг 3: Второе значение Пусть \(x — y = 3\), тогда:

\[
x — y = 3, \quad y = x — 3;
\]

Подставляем в второе уравнение:

\[
x + y = 15, \quad 2x — 3 = 15;
\]

Решаем относительно \(x\):

\[
2x = 18, \quad x = 9, \quad y = 6.
\]

Ответ для второго случая: \(x = 9, y = 6\).

Шаг 4: Третье значение Пусть \(x — y = 5\), тогда:

\[
x — y = 5, \quad y = x — 5;
\]

Подставляем в второе уравнение:

\[
x + y = 9, \quad 2x — 5 = 9;
\]

Решаем относительно \(x\):

\[
2x = 14, \quad x = 7, \quad y = 2.
\]

Ответ для третьего случая: \(x = 7, y = 2\).

Резюме:

Мы нашли несколько возможных значений для \(x\) и \(y\), которые удовлетворяют заданному уравнению. Эти значения равны:

\[
(23; 22); \quad (9; 6); \quad (7; 2).
\]

Ответ: \( (23; 22), (9; 6), (7; 2). \)