ГДЗ по Алгебре 9 Класс Часть 1 Страница 1086 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Взяли два различных натуральных числа. Эти числа сложили, перемножили, вычли из большего данного числа меньшее и разделили большее на меньшее. Оказалось, что сумма всех четырёх результатов равна 441. Найдите эти числа.

Пусть даны числа \( x \) и \( y \):
\[
(x + y) + xy + (x — y) + \frac{x}{y} = 441;
\]

\[
2x + xy + \frac{x}{y} = 441, \quad \frac{x}{y}(2y + y^2 + 1) = 441;
\]

\[
\frac{x}{y} \cdot (y + 1)^2 = 441, \quad \frac{x}{y} = \frac{212}{(y + 1)^2}, \quad \frac{x}{y} \in \mathbb{N};
\]

1) Пусть \( y + 1 = 21 \), тогда:
\[
y = 20, \quad \frac{x}{y} = 1, \quad x = y = 20;
\]

2) Пусть \( y + 1 = 7 \), тогда:
\[
y = 6, \quad \frac{x}{y} = 9, \quad x = 9y = 54;
\]

3) Пусть \( y + 1 = 3 \), тогда:
\[
y = 2, \quad \frac{x}{y} = 49, \quad x = 98;
\]

Ответ: 6 и 54; 2 и 98.

Решение:

У нас есть уравнение для чисел \( x \) и \( y \):

\[
(x + y) + xy + (x — y) + \frac{x}{y} = 441;
\]

Рассмотрим данное уравнение шаг за шагом.

Шаг 1: Преобразуем уравнение

Перепишем уравнение в более удобной форме:

\[
2x + xy + \frac{x}{y} = 441, \quad \frac{x}{y}(2y + y^2 + 1) = 441;
\]

Теперь, умножив обе части на \( \frac{x}{y} \), получаем:

\[
\frac{x}{y} \cdot (y + 1)^2 = 441, \quad \frac{x}{y} = \frac{212}{(y + 1)^2}, \quad \frac{x}{y} \in \mathbb{N};
\]

Шаг 2: Найдем возможные значения для \( y \)

Пусть \( y + 1 = 21 \), тогда:

\[
y = 20, \quad \frac{x}{y} = 1, \quad x = y = 20;
\]

Ответ для этого случая: \( x = 20, y = 20 \).

Шаг 3: Рассмотрим второй вариант для \( y \)

Пусть \( y + 1 = 7 \), тогда:

\[
y = 6, \quad \frac{x}{y} = 9, \quad x = 9y = 9 \cdot 6 = 54;
\]

Ответ для этого случая: \( x = 54, y = 6 \).

Шаг 4: Рассмотрим третий вариант для \( y \)

Пусть \( y + 1 = 3 \), тогда:

\[
y = 2, \quad \frac{x}{y} = 49, \quad x = 49 \cdot 2 = 98;
\]

Ответ для этого случая: \( x = 98, y = 2 \).

Резюме:

Мы нашли несколько возможных значений для \( x \) и \( y \), которые удовлетворяют заданному уравнению. Эти значения равны:

\[
x = 54, \, y = 6; \quad x = 98, \, y = 2.
\]

Ответ: \( x = 54, y = 6; x = 98, y = 2. \)