ГДЗ по Алгебре 9 Класс Часть 1 Страница 1083 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что значение выражения

(5 + 10n+ 1)(1 + 10 + … + 10n) + 1

Является квадратом числа:

\[
(5 + 10^{n+1})(1 + 10 + \ldots + 10^n) + 1 =
\]

\[
= (5 + 10^{n+1}) \cdot \frac{10^{n+1} — 1}{10 — 1} + 1 =
\]

\[
\frac{5 \cdot 10^{n+1} — 5 + 10^{2(n+1)} — 10^{n+1} + 9}{9} =
\]

\[
\frac{10^{2(n+1)} + 4 \cdot 10^{n+1} + 4}{9} =
\]

\[
\left(\frac{10^{n+1} + 2}{3}\right)^2;
\]

Что и требовалось доказать.

Доказательство:

Необходимо доказать, что выражение:

\[
(5 + 10^{n+1})(1 + 10 + \ldots + 10^n) + 1
\]
является квадратом числа.

Шаг 1: Используем формулу для суммы геометрической прогрессии.

Сумма первых \(n+1\) членов геометрической прогрессии, где первый элемент равен 1, а знаменатель равен 10:

\[
1 + 10 + 10^2 + \ldots + 10^n = \frac{10^{n+1} — 1}{10 — 1} = \frac{10^{n+1} — 1}{9}.
\]

Шаг 2: Подставим найденное выражение в исходное. Мы заменим сумму на выражение для суммы геометрической прогрессии:

\[
(5 + 10^{n+1}) \cdot \frac{10^{n+1} — 1}{9} + 1.
\]

Шаг 3: Раскроем скобки в числителе.

Раскроем произведение и добавим 1 к результату:

\[
(5 + 10^{n+1}) \cdot \frac{10^{n+1} — 1}{9} = \frac{(5 \cdot 10^{n+1} — 5 + 10^{2(n+1)} — 10^{n+1} + 9)}{9}.
\]

Шаг 4: Упростим числитель.

Преобразуем числитель, группируя подобные члены:

\[
= \frac{10^{2(n+1)} + 4 \cdot 10^{n+1} + 4}{9}.
\]

Шаг 5: Замечаем, что числитель можно представить как полный квадрат.

Мы можем записать числитель как квадрат бинома:

\[
= \left( \frac{10^{n+1} + 2}{3} \right)^2.
\]

Что и требовалось доказать.

Таким образом, мы доказали, что выражение:

\[
(5 + 10^{n+1})(1 + 10 + \ldots + 10^n) + 1
\]
действительно является квадратом числа и равно:

\[
\left( \frac{10^{n+1} + 2}{3} \right)^2.
\]