ГДЗ по Алгебре 9 Класс Часть 1 Страница 1082 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите при любом натуральном n значение выражения

Вычислить значение:

\[
\sqrt[3]{\frac{1 \cdot 2 \cdot 4 + 2 \cdot 4 \cdot 8 + \ldots + n \cdot 2n \cdot 4n}{1 \cdot 3 \cdot 9 + 2 \cdot 6 \cdot 18 + \ldots + n \cdot 3n \cdot 9n}} =
\]

\[
\sqrt[3]{\frac{2 \cdot 4 \cdot (1 + 2^3 + \ldots + n^3)}{3 \cdot 9 \cdot (1 + 2^3 + \ldots + n^3)}} =
\]

\[
\sqrt[3]{\frac{8}{27}} = \frac{2}{3}.
\]

Ответ: \(\frac{2}{3}\).

Вычисление значения:

Дано выражение:

\[
\sqrt[3]{\frac{1 \cdot 2 \cdot 4 + 2 \cdot 4 \cdot 8 + \ldots + n \cdot 2n \cdot 4n}{1 \cdot 3 \cdot 9 + 2 \cdot 6 \cdot 18 + \ldots + n \cdot 3n \cdot 9n}}.
\]

Мы видим, что числитель и знаменатель содержат схожие выражения, которые могут быть представлены в виде суммы произведений последовательных членов:

• Числитель: \(1 \cdot 2 \cdot 4 + 2 \cdot 4 \cdot 8 + \ldots + n \cdot 2n \cdot 4n\).
• Знаменатель: \(1 \cdot 3 \cdot 9 + 2 \cdot 6 \cdot 18 + \ldots + n \cdot 3n \cdot 9n\).

Обратите внимание, что оба выражения могут быть упрощены, используя общие множители:

В числителе можно выделить \(2 \cdot 4\) как общий множитель:

\[
2 \cdot 4 \cdot (1 + 2^3 + 3^3 + \ldots + n^3).
\]

Аналогично, в знаменателе можно выделить \(3 \cdot 9\) как общий множитель:

\[
3 \cdot 9 \cdot (1 + 2^3 + 3^3 + \ldots + n^3).
\]

Теперь числитель и знаменатель имеют одинаковую сумму \(1 + 2^3 + 3^3 + \ldots + n^3\), и их можно сократить:

\[
\frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 9} = \frac{8}{27}.
\]

Теперь мы вычисляем кубический корень из результата:

\[
\sqrt[3]{\frac{8}{27}} = \frac{2}{3}.
\]

Ответ: \(\frac{2}{3}\).