ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 97 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Упростите выражение и найдите его значение при \( x = -1,5 \):

а) \(\frac{x+1}{x^2-x} — \frac{x+2}{x^2-1}\)

б) \(\frac{x+2}{x^2+3x} — \frac{1+x}{x^2-9}\)

а)
\[
\frac{x+1}{x^2-x} — \frac{x+2}{x^2-1} = \frac{x+1}{x(x-1)} — \frac{x+2}{(x-1)(x+1)} =\]

\[\frac{x^2 + 2x + 1}{x(x-1)(x+1)} — \frac{x^2 + 2x}{x(x-1)(x+1)} = \frac{1}{x(x-1)(x+1)}
\]

При \(x = -1.5\):
\[
\frac{1}{x(x-1)(x+1)} = \frac{1}{-1.5 \cdot (-1.5-1) \cdot (-1.5+1)} =\]

\[\frac{1}{-1.5 \cdot -2.5 \cdot -0.5} = \frac{1}{-1.875} = -\frac{8}{15}
\]

б)
\[
\frac{x+2}{x^2+3x} — \frac{1+x}{x^2-9} = \frac{x+2}{x(x+3)} — \frac{1+x}{(x-3)(x+3)} =\]

\[\frac{x^2 — 3x + 2x — 6}{x(x-3)(x+3)} — \frac{x+x^2}{x(x-3)(x+3)} = \frac{-2(x+3)}{x(x-3)(x+3)} = \frac{-2}{x(x-3)}
\]

При \(x = -1.5\):
\[
\frac{-2}{x(x-3)} = \frac{-2}{-1.5 \cdot (-1.5-3)} = \frac{-2}{-1.5 \cdot -4.5} =\]

\[\frac{-2}{6.75} = — \frac{8}{27}
\]

а)

Дано выражение:

\[
\frac{x+1}{x^2-x} — \frac{x+2}{x^2-1}
\]

1. Раскроем знаменатели каждого из выражений:

Первое выражение имеет знаменатель \( x^2 — x \), который можно разложить как \( x(x — 1) \). Так как \( x^2 — x = x(x — 1) \), это можно переписать так:

\[
\frac{x+1}{x(x — 1)}
\]

Второе выражение имеет знаменатель \( x^2 — 1 \), который является разностью квадратов и раскладывается как \( (x — 1)(x + 1) \). Таким образом, второе выражение можно записать так:

\[
\frac{x+2}{(x — 1)(x + 1)}
\]

Теперь у нас есть два выражения с разными знаменателями: \( \frac{x+1}{x(x-1)} \) и \( \frac{x+2}{(x-1)(x+1)} \). Чтобы вычесть эти дроби, нужно привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель будет \( x(x-1)(x+1) \).

2. Приводим дроби к общему знаменателю:

Для первой дроби числитель умножаем на \( (x+1) \), так как этого не хватает для полного знаменателя \( x(x-1)(x+1) \). То есть:

\[
\frac{x+1}{x(x — 1)} = \frac{(x+1)(x + 1)}{x(x — 1)(x + 1)} = \frac{x^2 + 2x + 1}{x(x — 1)(x + 1)}
\]

Для второй дроби числитель умножаем на \( x \), так как этого не хватает для полного знаменателя. То есть:

\[
\frac{x+2}{(x — 1)(x + 1)} = \frac{(x+2) \cdot x}{x(x — 1)(x + 1)} = \frac{x^2 + 2x}{x(x — 1)(x + 1)}
\]

Теперь у нас есть два выражения с одинаковым знаменателем. Вычитаем числители:

\[
\frac{x^2 + 2x + 1}{x(x — 1)(x + 1)} — \frac{x^2 + 2x}{x(x — 1)(x + 1)} =\]

\[\frac{(x^2 + 2x + 1) — (x^2 + 2x)}{x(x — 1)(x + 1)} = \frac{1}{x(x — 1)(x + 1)}
\]

3. Подставляем \( x = -1.5 \) в полученное выражение:

Теперь подставим \( x = -1.5 \) в дробь:

\[
\frac{1}{x(x — 1)(x + 1)} = \frac{1}{-1.5 \cdot (-1.5 — 1) \cdot (-1.5 + 1)}
\]

Вычисляем значения в скобках:

-1.5 — 1 = -2.5

-1.5 + 1 = -0.5

Теперь подставляем эти значения:

\[
\frac{1}{-1.5 \cdot -2.5 \cdot -0.5} = \frac{1}{-1.875} = -\frac{8}{15}
\]

Ответ: \( -\frac{8}{15} \)

б)

Дано выражение:

\[
\frac{x+2}{x^2+3x} — \frac{1+x}{x^2-9}
\]

1. Раскроем знаменатели:

Первое выражение имеет знаменатель \( x^2 + 3x \), который можно разложить как \( x(x + 3) \). То есть:

\[
\frac{x+2}{x(x+3)}
\]

Второе выражение имеет знаменатель \( x^2 — 9 \), который является разностью квадратов, и раскладывается как \( (x — 3)(x + 3) \). То есть:

\[
\frac{1+x}{(x-3)(x+3)}
\]

2. Приводим дроби к общему знаменателю:

Общий знаменатель у этих дробей будет \( x(x — 3)(x + 3) \). Для первой дроби умножаем числитель на \( (x — 3) \), чтобы привести к общему знаменателю:

\[
\frac{x+2}{x(x + 3)} = \frac{(x+2)(x — 3)}{x(x — 3)(x + 3)} = \frac{x^2 — 3x + 2x — 6}{x(x — 3)(x + 3)} = \frac{x^2 — x — 6}{x(x — 3)(x + 3)}
\]

Для второй дроби умножаем числитель на \( x \), чтобы привести к общему знаменателю:

\[
\frac{1+x}{(x — 3)(x + 3)} = \frac{(1+x) \cdot x}{x(x — 3)(x + 3)} = \frac{x + x^2}{x(x — 3)(x + 3)}
\]

Теперь, когда обе дроби имеют общий знаменатель, можем выполнить вычитание:

\[
\frac{x^2 — x — 6}{x(x — 3)(x + 3)} — \frac{x + x^2}{x(x — 3)(x + 3)} = \frac{-2(x + 3)}{x(x — 3)(x + 3)}
\]

3. Упростим выражение:

\[
\frac{-2(x + 3)}{x(x — 3)(x + 3)} = \frac{-2}{x(x — 3)}
\]

4. Подставляем \( x = -1.5 \) в полученное выражение:

\[
\frac{-2}{x(x — 3)} = \frac{-2}{-1.5 \cdot (-1.5 — 3)} = \frac{-2}{-1.5 \cdot -4.5}
\]

Вычисляем знаменатель:

-1.5 \cdot -4.5 = 6.75

Теперь подставляем:

\[
\frac{-2}{6.75} = -\frac{8}{27}
\]

Ответ: \( -\frac{8}{27} \)