ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 95 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Преобразуйте в дробь выражение:
а) \(\frac{b-6}{4-b^2} + \frac{2}{2b-b^2}\);

б) \(\frac{b}{ab-5a^2} — \frac{15b-25a}{b^2-25a^2}\);

в) \(\frac{x-12a}{x^2-16a^2} — \frac{4a}{4ax-x^2}\);

г) \(\frac{a-30y}{a^2-100y^2} — \frac{10y}{10ay-a^2}\).

а)
\[
\frac{b-6}{4-b^2} + \frac{2}{2b-b^2} = \frac{b-6}{b(2-b)(2+b)} + \frac{2}{b(2-b)(2+b)} =\]

\[\frac{b^2-6b+4b+2b}{b(2-b)(2+b)}
\]
\[
= \frac{b^2-4b+4}{b(2-b)(2+b)} = \frac{(b-2)^2}{b(2-b)(2+b)} = \frac{2-b}{2b+b^2}
\]

б)
\[
\frac{b}{ab-5a^2} — \frac{15b-25a}{b^2-25a^2} = \frac{b}{a(b-5a)} — \frac{15b-25a}{(b-5a)(b+5a)}
\]
\[
= \frac{b(b+5a)-15b+25a}{a(b-5a)(b+5a)} = \frac{b^2+5ab-15ab+25a^2}{a(b-5a)(b+5a)}
\]
\[
= \frac{b^2-10ab+25a^2}{a(b-5a)(b+5a)} = \frac{b-5a}{ab+5a^2}
\]

в)
\[
\frac{x-12a}{x^2-16a^2} — \frac{4a}{4ax-x^2} = \frac{x-12a}{x(x-4a)(x+4a)} — \frac{4a}{x(x-4a)}
\]
\[
= \frac{x(x-4a) + 4ax+16a^2}{x(x-4a)(x+4a)} = \frac{x^2-12ax+4ax+16a^2}{x(x-4a)(x+4a)}
\]
\[
= \frac{x^2-8ax+16a^2}{x(x-4a)(x+4a)} = \frac{x-4a}{x^2+4ax}
\]

г)
\[
\frac{a-30y}{a^2-100y^2} — \frac{10y}{10ay-a^2} = \frac{a-30y}{a(a-10y)(a+10y)} + \frac{10y}{a(a-10y)}
\]
\[
= \frac{a^2-30ay+10ay+100y^2}{a(a-10y)(a+10y)} = \frac{a^2-20ay+100y^2}{a(a-10y)(a+10y)}
\]
\[
= \frac{a-10y}{a^2+10ay}
\]

a) Дано выражение: \(\frac{b-6}{4-b^2} + \frac{2}{2b-b^2}\)

Приведем знаменатели к общему виду:

\(4-b^2 = (2-b)(2+b)\)

\(2b-b^2 = b(2-b)\)

Общий знаменатель: \(b(2-b)(2+b)\)

Приведем дроби к общему знаменателю:

\(\frac{b-6}{(2-b)(2+b)} = \frac{b-6}{b(2-b)(2+b)}\)

\(\frac{2}{b(2-b)} = \frac{2(2+b)}{b(2-b)(2+b)}\)

Сложим дроби:

\(\frac{b-6 + 2(2+b)}{b(2-b)(2+b)} = \frac{b-6 + 4 + 2b}{b(2-b)(2+b)}\)

\(\frac{b^2 — 4b + 4}{b(2-b)(2+b)}\)

Упростим числитель:

\((b-2)^2\)

Ответ: \(\frac{(b-2)^2}{b(2-b)(2+b)} = \frac{2-b}{2b+b^2}\)

б) Дано выражение: \(\frac{b}{ab-5a^2} — \frac{15b-25a}{b^2-25a^2}\)

Приведем знаменатели к общему виду:

\(ab-5a^2 = a(b-5a)\)

\(b^2-25a^2 = (b-5a)(b+5a)\)

Общий знаменатель: \(a(b-5a)(b+5a)\)

Приведем дроби к общему знаменателю:

\(\frac{b}{a(b-5a)} = \frac{b(b+5a)}{a(b-5a)(b+5a)}\)

\(\frac{15b-25a}{(b-5a)(b+5a)} = \frac{15b-25a}{a(b-5a)(b+5a)}\)

Вычтем дроби:

\(\frac{b(b+5a) — (15b-25a)}{a(b-5a)(b+5a)}\)

\(\frac{b^2 + 5ab — 15b + 25a}{a(b-5a)(b+5a)}\)

Упростим числитель:

\((b-5a)\)

Ответ: \(\frac{b-5a}{ab+5a^2}\)

в) Дано выражение: \(\frac{x-12a}{x^2-16a^2} — \frac{4a}{4ax-x^2}\)

Приведем знаменатели к общему виду:

\(x^2-16a^2 = (x-4a)(x+4a)\)

\(4ax-x^2 = x(x-4a)\)

Общий знаменатель: \(x(x-4a)(x+4a)\)

Приведем дроби к общему знаменателю:

\(\frac{x-12a}{(x-4a)(x+4a)} = \frac{x-12a}{x(x-4a)(x+4a)}\)

\(\frac{4a}{x(x-4a)} = \frac{4a(x+4a)}{x(x-4a)(x+4a)}\)

Вычтем дроби:

\(\frac{x-12a — 4a(x+4a)}{x(x-4a)(x+4a)}\)

\(\frac{x^2 — 8ax + 16a^2}{x(x-4a)(x+4a)}\)

Упростим числитель:

\((x-4a)\)

Ответ: \(\frac{x-4a}{x^2+4ax}\)

г) Дано выражение: \(\frac{a-30y}{a^2-100y^2} — \frac{10y}{10ay-a^2}\)

Приведем знаменатели к общему виду:

\(a^2-100y^2 = (a-10y)(a+10y)\)

\(10ay-a^2 = a(a-10y)\)

Общий знаменатель: \(a(a-10y)(a+10y)\)

Приведем дроби к общему знаменателю:

\(\frac{a-30y}{(a-10y)(a+10y)} = \frac{a-30y}{a(a-10y)(a+10y)}\)

\(\frac{10y}{a(a-10y)} = \frac{10y(a+10y)}{a(a-10y)(a+10y)}\)

Сложим дроби:

\(\frac{a-30y + 10y(a+10y)}{a(a-10y)(a+10y)}\)

\(\frac{a^2 — 20ay + 100y^2}{a(a-10y)(a+10y)}\)

Упростим числитель:

\((a-10y)\)

Ответ: \(\frac{a-10y}{a^2+10ay}\)