ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 904 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Задача

Проиллюстрируйте с помощью кругов Эйлера соотношение между множеством \( N \) натуральных чисел, множеством \( Z \) целых чисел, множеством \( Q \) рациональных чисел. Найдите пересечение и объединение:

а) множества натуральных и множества целых чисел;
б) множества целых и множества рациональных чисел;
в) множества рациональных и множества иррациональных чисел.

Краткий ответ:

a) \( N \cup Z = Z \), \( N \cap Z = N \)
б) \( Z \cup Q = Q \), \( Z \cap Q = Z \)
в) \( Q \cup I = R \), \( R \) — множество действительных чисел.
\( Q \cap I = \emptyset \)

Подробный ответ:

а) Объединение и пересечение \( N \) и \( Z \)

Множество \( N \) — это множество натуральных чисел: \( N = \{1, 2, 3, \dots\} \).
Множество \( Z \) — это множество целых чисел: \( Z = \{\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots\} \).

Объединение:

При объединении \( N \cup Z \), мы добавляем все элементы из \( N \) в \( Z \).
Поскольку все натуральные числа уже входят в множество целых чисел, то результат:
\[
N \cup Z = Z
\]

Пересечение:

Пересечение \( N \cap Z \) — это множество чисел, которые одновременно принадлежат и \( N \), и \( Z \).
Натуральные числа являются подмножеством целых чисел, поэтому результат:
\[
N \cap Z = N
\]

б) Объединение и пересечение \( Z \) и \( Q \)

Множество \( Q \) — это множество рациональных чисел: \( Q = \left\{\frac{p}{q} \mid p \in Z, q \in N \right\} \).
Целые числа \( Z \) являются подмножеством рациональных чисел, так как каждое целое число можно представить в виде дроби с единицей в знаменателе (например, \( 3 = \frac{3}{1} \)).

Объединение:

При объединении \( Z \cup Q \), мы добавляем все элементы из \( Z \) в \( Q \).
Поскольку \( Z \subset Q \), то результат:
\[
Z \cup Q = Q
\]

Пересечение:

Пересечение \( Z \cap Q \) — это множество чисел, которые одновременно принадлежат и \( Z \), и \( Q \).
Поскольку все целые числа являются рациональными, то результат:
\[
Z \cap Q = Z
\]

в) Объединение и пересечение \( Q \) и \( I \)

Множество \( I \) — это множество иррациональных чисел, таких как \( \sqrt{2}, \pi, e \), которые не могут быть представлены в виде дроби \( \frac{p}{q} \).
Множество \( R \) — это множество действительных чисел, которое включает в себя как рациональные, так и иррациональные числа.

Объединение:

При объединении \( Q \cup I \), мы получаем все рациональные и иррациональные числа, то есть множество всех действительных чисел:
\[
Q \cup I = R
\]

Пересечение:

Пересечение \( Q \cap I \) — это множество чисел, которые одновременно принадлежат и \( Q \), и \( I \).
Поскольку рациональные и иррациональные числа не пересекаются, результат:
\[
Q \cap I = \emptyset
\]

Оцени решение