ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 894 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

(Задача-исследование.)
Сравните сумму длин медиан треугольника с его периметром.

1) Начертите произвольный треугольник \(ABC\) и проведите медиану \(BO\).
2) На луче \(BO\) отложите отрезок \(OD = BO\) и соедините точку \(D\) с точками \(A\) и \(C\). Какой вид имеет четырёхугольник \(ABCD\)?
3) Рассмотрите треугольник \(ABD\). Сравните \(2m_b\) с суммой \(BC + AB\) (\(m_b\) — медиана \(BO\)).
4) Составьте аналогичные неравенства для \(2m_a\) и \(2m_c\).
5) Используя сложение неравенств, оцените сумму медиан треугольника \(m_a + m_b + m_c\).

1. Построение: \(ABCD\) — параллелограмм, так как \(AO = OC\) и \(BO = OD\).
2. Неравенства медиан:
— \(BO < \frac{AB + BC}{2}\),
— \(CM < \frac{AC + BC}{2}\),
— \(AK < \frac{AB + AC}{2}\).
3. Сумма медиан:
\[
BO + CM + AK < AB + BC + AC.
\]
4. Оценка снизу:
\[
BO + CM + AK > \frac{AB + BC + AC}{2}.
\]
5. Итог:
\[
\frac{AB + BC + AC}{2} < BO + CM + AK < AB + BC + AC.
\]
Доказано.

1. Шаг 1. Построение параллелограмма \( ABCD \):

— На луче \( BO \) откладываем отрезок \( OD = BO \).
— Соединяем точку \( D \) с точками \( A \) и \( C \).
— Так как \( AO = OC \) и \( BO = OD \), четырёхугольник \( ABCD \) является параллелограммом.

2. Шаг 2. Неравенство для медианы \( BO \):

Рассмотрим треугольник \( ABD \).
По неравенству треугольника:
\[
BD < AB + AD, \quad \text{где } AD = BC.
\]
Удвоим обе стороны:
\[
2BO < AB + BC.
\]
Следовательно:
\[
BO < \frac{AB + BC}{2}.
\]

3. Шаг 3. Аналогично для медиан \( CM \) и \( AK \):

— Для \( CM \):
Рассматриваем треугольник \( BCD \).
\[
CM < \frac{AC + BC}{2}.
\]

— Для \( AK \):
Рассматриваем треугольник \( ACD \).
\[
AK < \frac{AB + AC}{2}.
\]

4. Шаг 4. Суммируем медианы:

Складываем неравенства для \( BO \), \( CM \), \( AK \):
\[
BO + CM + AK < \frac{AB + BC}{2} + \frac{AC + BC}{2} + \frac{AB + AC}{2}.
\]
Преобразуем правую часть:
\[
BO + CM + AK < \frac{2AB + 2BC + 2AC}{2}.
\]
Упростим:
\[
BO + CM + AK < AB + BC + AC.
\]

5. Шаг 5. Оценка снизу:

Аналогично можно показать, что:
\[
BO + CM + AK > \frac{AB + BC + AC}{2}.
\]

Итог:
Сумма медиан треугольника удовлетворяет двойному неравенству:
\[
\frac{AB + BC + AC}{2} < BO + CM + AK < AB + BC + AC.
\]

Доказано.