Учебник по математике для 8 класса авторов Макарычева и Миндюк является одним из самых популярных пособий в школьной программе. Он сочетает в себе доступное объяснение материала, разнообразные примеры и задания, что делает его незаменимым помощником для учащихся. Давайте рассмотрим основные особенности этого учебника.
Основные особенности учебника
- Структурированность материала
Учебник разделен на логические разделы, которые охватывают все ключевые темы 8 класса. Каждая глава начинается с краткого введения, что помогает учащимся понять, что они будут изучать. - Доступные объяснения
Авторы стараются объяснять сложные концепции простым и понятным языком. Это позволяет учащимся легче усваивать материал и применять его на практике. - Разнообразие задач
В учебнике представлено множество задач разного уровня сложности. Это позволяет учителям адаптировать задания под уровень подготовки класса и индивидуальные потребности учеников. - Практические примеры
Учебник содержит множество примеров из реальной жизни, что помогает учащимся видеть практическое применение математических знаний. Это делает процесс обучения более интересным и увлекательным. - Контрольные работы и тесты
В конце каждой главы предусмотрены контрольные задания, которые позволяют проверить усвоение материала. Это способствует подготовке к контрольным работам и экзаменам.
Заключение
Учебник по математике для 8 класса Макарычева и Миндюк — это качественное пособие, которое сочетает в себе теорию и практику. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе. Благодаря структурированному подходу и разнообразию заданий, этот учебник станет надежным помощником для каждого ученика, стремящегося к успеху в математике.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 892 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
(Для работы в парах.) Используя соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим положительных чисел, докажите, что при a > 0, b > 0, c > 0 верно неравенство:
a) (a + b)(b + c)(a + c) ≥ 8abc;
б) \(\frac{(a+1)(b+1)(a+c)(b+c)}{16} \geq abc\).
1) Обсудите, какие свойства неравенств можно использовать при доказательстве неравенств. Запишите неравенство, выражающее соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим положительных чисел a и b.
2) Распределите, кто выполняет доказательство неравенства а), а кто — неравенства б). Проведите доказательство.
3) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнено доказательство неравенства.
Часть a): Доказать, что:
\((a + b)(b + c)(a + c) \geq 8abc\)
Решение:
- По неравенству средних: \(a + b \geq 2\sqrt{ab}\), \(b + c \geq 2\sqrt{bc}\), \(a + c \geq 2\sqrt{ac}\).
- Перемножаем: \((a + b)(b + c)(a + c) \geq (2\sqrt{ab})(2\sqrt{bc})(2\sqrt{ac}) = 8abc\).
Доказано.
Часть б): Доказать, что:
\(\frac{(a + 1)(b + 1)(a + c)(b + c)}{16} \geq abc\)
Решение:
- По неравенству средних: \(a + 1 \geq 2\sqrt{a}\), \(b + 1 \geq 2\sqrt{b}\), \(a + c \geq 2\sqrt{ac}\), \(b + c \geq 2\sqrt{bc}\).
- Перемножаем: \((a + 1)(b + 1)(a + c)(b + c) \geq (2\sqrt{a})(2\sqrt{b})(2\sqrt{ac})(2\sqrt{bc}) = 16abc\).
- Делим на 16: \(\frac{(a + 1)(b + 1)(a + c)(b + c)}{16} \geq abc\).
Доказано.
Дано: a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ 0.
Часть a): Доказать, что:
(a + b)(b + c)(a + c) ≥ 8abc
Доказательство:
Используем неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим:
\(\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}\), откуда \(a + b \geq 2\sqrt{ab}\).
\(\frac{b + c}{2} \geq \sqrt{bc}\), откуда \(b + c \geq 2\sqrt{bc}\).
\(\frac{a + c}{2} \geq \sqrt{ac}\), откуда \(a + c \geq 2\sqrt{ac}\).
Перемножим полученные неравенства:
\[
(a + b) \cdot (b + c) \cdot (a + c) \geq (2\sqrt{ab}) \cdot (2\sqrt{bc}) \cdot (2\sqrt{ac}).
\]
Упростим правую часть:
\[
(2\sqrt{ab}) \cdot (2\sqrt{bc}) \cdot (2\sqrt{ac}) = 8\sqrt{a^2b^2c^2} = 8abc.
\]
Таким образом:
\[
(a + b)(b + c)(a + c) \geq 8abc.
\]
Часть б): Доказать, что:
\(\frac{(a + 1)(b + 1)(a + c)(b + c)}{16} \geq abc\)
Доказательство:
Опять используем неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим:
\(\frac{a + 1}{2} \geq \sqrt{a}\), откуда \(a + 1 \geq 2\sqrt{a}\).
\(\frac{b + 1}{2} \geq \sqrt{b}\), откуда \(b + 1 \geq 2\sqrt{b}\).
\(\frac{b + c}{2} \geq \sqrt{bc}\), откуда \(b + c \geq 2\sqrt{bc}\).
\(\frac{a + c}{2} \geq \sqrt{ac}\), откуда \(a + c \geq 2\sqrt{ac}\).
Перемножим полученные неравенства:
\[
(a + 1) \cdot (b + 1) \cdot (b + c) \cdot (a + c) \geq (2\sqrt{a})\]
\[\cdot (2\sqrt{b}) \cdot (2\sqrt{bc}) \cdot (2\sqrt{ac}).
\]
Упростим правую часть:
\[
(2\sqrt{a}) \cdot (2\sqrt{b}) \cdot (2\sqrt{bc}) \cdot (2\sqrt{ac}) = 16\sqrt{a^2b^2c^2} = 16abc.
\]
Разделим обе части на 16:
\[
\frac{(a + 1)(b + 1)(b + c)(a + c)}{16} \geq abc.
\]
Вывод:
Оба неравенства доказаны с использованием свойства неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим.
Алгебра
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.