ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 892 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

(Для работы в парах.) Используя соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим положительных чисел, докажите, что при a > 0, b > 0, c > 0 верно неравенство:
a) (a + b)(b + c)(a + c) ≥ 8abc;
б) \(\frac{(a+1)(b+1)(a+c)(b+c)}{16} \geq abc\).

1) Обсудите, какие свойства неравенств можно использовать при доказательстве неравенств. Запишите неравенство, выражающее соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим положительных чисел a и b.
2) Распределите, кто выполняет доказательство неравенства а), а кто — неравенства б). Проведите доказательство.
3) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнено доказательство неравенства.

Часть a): Доказать, что:

\((a + b)(b + c)(a + c) \geq 8abc\)

Решение:

1. По неравенству средних: \(a + b \geq 2\sqrt{ab}\), \(b + c \geq 2\sqrt{bc}\), \(a + c \geq 2\sqrt{ac}\).
2. Перемножаем: \((a + b)(b + c)(a + c) \geq (2\sqrt{ab})(2\sqrt{bc})(2\sqrt{ac}) = 8abc\).

Доказано.

Часть б): Доказать, что:

\(\frac{(a + 1)(b + 1)(a + c)(b + c)}{16} \geq abc\)

Решение:

1. По неравенству средних: \(a + 1 \geq 2\sqrt{a}\), \(b + 1 \geq 2\sqrt{b}\), \(a + c \geq 2\sqrt{ac}\), \(b + c \geq 2\sqrt{bc}\).
2. Перемножаем: \((a + 1)(b + 1)(a + c)(b + c) \geq (2\sqrt{a})(2\sqrt{b})(2\sqrt{ac})(2\sqrt{bc}) = 16abc\).
3. Делим на 16: \(\frac{(a + 1)(b + 1)(a + c)(b + c)}{16} \geq abc\).

Доказано.

Дано: a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ 0.

Часть a): Доказать, что:

(a + b)(b + c)(a + c) ≥ 8abc

Доказательство:

Используем неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим:

\(\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}\), откуда \(a + b \geq 2\sqrt{ab}\).

\(\frac{b + c}{2} \geq \sqrt{bc}\), откуда \(b + c \geq 2\sqrt{bc}\).

\(\frac{a + c}{2} \geq \sqrt{ac}\), откуда \(a + c \geq 2\sqrt{ac}\).

Перемножим полученные неравенства:
\[
(a + b) \cdot (b + c) \cdot (a + c) \geq (2\sqrt{ab}) \cdot (2\sqrt{bc}) \cdot (2\sqrt{ac}).
\]

Упростим правую часть:
\[
(2\sqrt{ab}) \cdot (2\sqrt{bc}) \cdot (2\sqrt{ac}) = 8\sqrt{a^2b^2c^2} = 8abc.
\]

Таким образом:
\[
(a + b)(b + c)(a + c) \geq 8abc.
\]

Часть б): Доказать, что:

\(\frac{(a + 1)(b + 1)(a + c)(b + c)}{16} \geq abc\)

Доказательство:

Опять используем неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим:

\(\frac{a + 1}{2} \geq \sqrt{a}\), откуда \(a + 1 \geq 2\sqrt{a}\).

\(\frac{b + 1}{2} \geq \sqrt{b}\), откуда \(b + 1 \geq 2\sqrt{b}\).

\(\frac{b + c}{2} \geq \sqrt{bc}\), откуда \(b + c \geq 2\sqrt{bc}\).

\(\frac{a + c}{2} \geq \sqrt{ac}\), откуда \(a + c \geq 2\sqrt{ac}\).

Перемножим полученные неравенства:
\[
(a + 1) \cdot (b + 1) \cdot (b + c) \cdot (a + c) \geq (2\sqrt{a})\]

\[\cdot (2\sqrt{b}) \cdot (2\sqrt{bc}) \cdot (2\sqrt{ac}).
\]

Упростим правую часть:
\[
(2\sqrt{a}) \cdot (2\sqrt{b}) \cdot (2\sqrt{bc}) \cdot (2\sqrt{ac}) = 16\sqrt{a^2b^2c^2} = 16abc.
\]

Разделим обе части на 16:
\[
\frac{(a + 1)(b + 1)(b + c)(a + c)}{16} \geq abc.
\]

Вывод:

Оба неравенства доказаны с использованием свойства неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим.