ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 883 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Верно ли для положительных чисел \( a \) и \( b \), что:
а) если \( a^2 > b^2 \), то \( a^3 > b^3 \);
б) если \( a^3 > b^3 \), то \( a^2 > b^2 \)?

а)
\( a^2 > b^2 \)
\( a > b \)
\( a^3 > b^3 \)
Верно.

б)
Если \( a^3 > b^3 \), то \( a > b \), тогда \( a^2 > b^2 \). Верно.

а) Доказать, что если \( a^2 > b^2 \), то \( a^3 > b^3 \)

Рассмотрим неравенство \( a^2 > b^2 \). Из этого следует, что \( a > b \) для положительных чисел \( a \) и \( b \).
Умножим обе части неравенства \( a > b \) на \( a^2 \) (так как \( a > 0 \), знак неравенства не изменится):
\( a \cdot a^2 > b \cdot a^2 \), что эквивалентно \( a^3 > a^2b \).
Поскольку \( a > b \), то \( a^2 > ab \), и следовательно, \( a^3 > a^2b > b^3 \).
Таким образом, утверждение верно.

б) Доказать, что если \( a^3 > b^3 \), то \( a^2 > b^2 \)

Рассмотрим неравенство \( a^3 > b^3 \). Из этого следует, что \( a > b \) для положительных чисел \( a \) и \( b \).
Умножим обе части неравенства \( a > b \) на \( a \) (так как \( a > 0 \), знак неравенства не изменится):
\( a \cdot a > b \cdot a \), что эквивалентно \( a^2 > ab \).
Поскольку \( a > b \), то \( ab > b^2 \).
Следовательно, \( a^2 > ab > b^2 \).
Таким образом, утверждение верно.