Учебник по математике для 8 класса авторов Макарычева и Миндюк является одним из самых популярных пособий в школьной программе. Он сочетает в себе доступное объяснение материала, разнообразные примеры и задания, что делает его незаменимым помощником для учащихся. Давайте рассмотрим основные особенности этого учебника.
Основные особенности учебника
- Структурированность материала
Учебник разделен на логические разделы, которые охватывают все ключевые темы 8 класса. Каждая глава начинается с краткого введения, что помогает учащимся понять, что они будут изучать. - Доступные объяснения
Авторы стараются объяснять сложные концепции простым и понятным языком. Это позволяет учащимся легче усваивать материал и применять его на практике. - Разнообразие задач
В учебнике представлено множество задач разного уровня сложности. Это позволяет учителям адаптировать задания под уровень подготовки класса и индивидуальные потребности учеников. - Практические примеры
Учебник содержит множество примеров из реальной жизни, что помогает учащимся видеть практическое применение математических знаний. Это делает процесс обучения более интересным и увлекательным. - Контрольные работы и тесты
В конце каждой главы предусмотрены контрольные задания, которые позволяют проверить усвоение материала. Это способствует подготовке к контрольным работам и экзаменам.
Заключение
Учебник по математике для 8 класса Макарычева и Миндюк — это качественное пособие, которое сочетает в себе теорию и практику. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе. Благодаря структурированному подходу и разнообразию заданий, этот учебник станет надежным помощником для каждого ученика, стремящегося к успеху в математике.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 86 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Представьте выражение в виде дроби:
a) \(\frac{b-c}{b} + \frac{b}{b+c}\);
б) \(\frac{x+1}{x-2} — \frac{x+3}{x}\);
в) \(\frac{m}{m-n} — \frac{n}{m+n}\);
г) \(\frac{2a}{2a-1} — \frac{1}{2a+1}\);
д) \(\frac{a}{a+2} — \frac{a}{a-2}\);
е) \(\frac{p}{3p-1} — \frac{p}{1+3p}\).
a) \(\frac{b-c}{b} + \frac{b}{b+c} = \frac{b^2-c^2}{b(b+c)} = \frac{b^2-c^2+b^2}{b(b+c)} = \frac{2b^2-c^2}{b^2+bc}\)
б) \(\frac{x+1}{x-2} — \frac{x+3}{x} = \frac{x(x+1)-x(x+3)}{x(x-2)} = \frac{x^2+x-(x^2+3x)}{x(x-2)} = \frac{x^2+x-x^2-3x+2x+6}{x(x-2)} = \frac{6}{x(x-2)}\)
в) \(\frac{m}{m-n} — \frac{n}{m+n} = \frac{m(m+n) — n(m-n)}{(m-n)(m+n)} = \frac{m^2+mn-(mn-n^2)}{(m-n)(m+n)} =\)
\(\frac{m^2+mn-mn+n^2}{(m-n)(m+n)} = \frac{m^2-n^2}{(m-n)(m+n)}\)
г) \(\frac{2a}{2a-1} — \frac{1}{2a+1} = \frac{2a(2a+1) — (2a-1)}{(2a-1)(2a+1)} = \frac{4a^2+2a-(2a-1)}{(2a-1)(2a+1)} = \frac{4a^2+2a-2a+1}{(2a-1)(2a+1)} = \frac{4a^2-1}{(2a-1)(2a+1)}\)
д) \(\frac{a}{a+2} — \frac{a}{a-2} = \frac{a(a-2) — a(a+2)}{(a+2)(a-2)} = \frac{a^2-2a-(a^2+2a)}{(a+2)(a-2)} = \frac{-4a}{(a+2)(a-2)} = \frac{-4a}{a^2-4}\)
е) \(\frac{p}{3p-1} — \frac{p}{1+3p} = \frac{p(1+3p) — p(3p-1)}{(3p-1)(1+3p)} = \frac{p+3p^2-(3p^2-p)}{(3p-1)(1+3p)} = \frac{p+3p^2-3p^2+p}{(3p-1)(1+3p)} = \frac{2p}{9p^2-1}\)
Задача a)
Изначальное выражение: \(\frac{b-c}{b} + \frac{b+c}{b}\)
Общий знаменатель: \(b(b+c)\)
Преобразуем выражение:
\[
\frac{b-c}{b} + \frac{b+c}{b} = \frac{(b-c)(b+c) + b^2}{b(b+c)}
\]
Раскроем скобки и упростим:
\[
= \frac{b^2 — c^2 + b^2}{b(b+c)} = \frac{2b^2 — c^2}{b^2 + bc}
\]
Задача б)
Изначальное выражение: \(\frac{x^2+x}{x-2} — \frac{x^3+3x^2+2x-6}{x(x-2)}\)
Общий знаменатель: \(x(x-2)\)
Преобразуем выражение:
\[
\frac{x^2+x}{x-2} — \frac{x^3+3x^2+2x-6}{x(x-2)} = \frac{x^2+x — (x^3+3x^2+2x-6)}{x(x-2)}
\]
Раскроем скобки и упростим:
\[
= \frac{x^2+x — x^3 — 3x^2 — 2x + 6}{x(x-2)} = \frac{-x^3 — 2x^2 — x + 6}{x(x-2)}
\]
Упростим дальше:
\[
= \frac{-x(x^2 + 2x + 1) + 6}{x(x-2)} = \frac{6}{x^2-2x}
\]
Задача в)
Изначальное выражение: \(\frac{m^2+mn}{m-n} — \frac{mn-n^2}{m+n}\)
Общий знаменатель: \((m-n)(m+n)\)
Преобразуем выражение:
\[
\frac{m^2+mn}{m-n} — \frac{mn-n^2}{m+n} = \frac{(m^2+mn)(m+n) — (mn-n^2)(m-n)}{(m-n)(m+n)}
\]
Раскроем скобки и упростим:
\[
= \frac{m^3 + m^2n + mn^2 + mn^2 — mn^2 + n^3}{m^2-n^2} = \frac{m^2 + n^2}{m^2-n^2}
\]
Задача г)
Изначальное выражение: \(\frac{4a^2+2a-(2a-1)}{(2a-1)(2a+1)}\)
Упростим числитель:
\[
4a^2 + 2a — 2a + 1 = 4a^2 + 1
\]
Итоговое выражение:
\[
\frac{4a^2 + 1}{4a^2 — 1}
\]
Задача д)
Изначальное выражение: \(\frac{a^2-2a-(a^2+2a)}{(a+2)(a-2)}\)
Упростим числитель:
\[
a^2 — 2a — a^2 — 2a = -4a
\]
Итоговое выражение:
\[
\frac{-4a}{a^2-4}
\]
Задача е)
Изначальное выражение: \(\frac{p+3p^2-(3p^2-p)}{(3p-1)(3p+1)}\)
Упростим числитель:
\[
p + 3p^2 — 3p^2 + p = 2p
\]
Итоговое выражение:
\[
\frac{2p}{9p^2-1}
\]
Алгебра
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.