Учебник по математике для 8 класса авторов Макарычева и Миндюк является одним из самых популярных пособий в школьной программе. Он сочетает в себе доступное объяснение материала, разнообразные примеры и задания, что делает его незаменимым помощником для учащихся. Давайте рассмотрим основные особенности этого учебника.
Основные особенности учебника
- Структурированность материала
Учебник разделен на логические разделы, которые охватывают все ключевые темы 8 класса. Каждая глава начинается с краткого введения, что помогает учащимся понять, что они будут изучать. - Доступные объяснения
Авторы стараются объяснять сложные концепции простым и понятным языком. Это позволяет учащимся легче усваивать материал и применять его на практике. - Разнообразие задач
В учебнике представлено множество задач разного уровня сложности. Это позволяет учителям адаптировать задания под уровень подготовки класса и индивидуальные потребности учеников. - Практические примеры
Учебник содержит множество примеров из реальной жизни, что помогает учащимся видеть практическое применение математических знаний. Это делает процесс обучения более интересным и увлекательным. - Контрольные работы и тесты
В конце каждой главы предусмотрены контрольные задания, которые позволяют проверить усвоение материала. Это способствует подготовке к контрольным работам и экзаменам.
Заключение
Учебник по математике для 8 класса Макарычева и Миндюк — это качественное пособие, которое сочетает в себе теорию и практику. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе. Благодаря структурированному подходу и разнообразию заданий, этот учебник станет надежным помощником для каждого ученика, стремящегося к успеху в математике.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 854 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Что больше: \(a^3 + b^3\) или \(ab(a + b)\), если \(a\) и \(b\) — неравные положительные числа?
Если \(a > 0\) и \(b > 0\).
\(a^3 + b^3 — (ab(a + b)) = a^3 + b^3 — a^2b — ab^2 = (a^3 — a^2b) + (b^3 — ab^2) =\)
\(a^2(a — b) — b^2(a — b) = (a^2 — b^2)(a — b) = (a — b)(a + b)(a — b) =\)
\((a — b)^2(a + b)\).
Так как \(a > 0\), \(b > 0\), то \(a + b > 0\). Значит \((a — b)^2(a + b) > 0\), поэтому
\(a^3 + b^3 > ab(a + b)\).
Дано: \(a > 0\) и \(b > 0\). Требуется сравнить \(a^3 + b^3\) и \(ab(a + b)\).
Решение:
Рассмотрим разность между \(a^3 + b^3\) и \(ab(a + b)\):
\((a^3 + b^3) — ab(a + b)\).
Раскроем скобки:
\((a^3 + b^3) — (a^2b + ab^2) = a^3 — a^2b + b^3 — ab^2.\)
Вынесем общие множители из первых двух и последних двух слагаемых:
\(a^2(a — b) + b^2(b — a).\)
Заметим, что \(b — a = -(a — b)\), поэтому:
\(a^2(a — b) — b^2(a — b).\)
Вынесем \((a — b)\) за скобки:
\((a — b)(a^2 — b^2).\)
Разложим \(a^2 — b^2\) как разность квадратов:
\((a — b)(a + b)(a — b) = (a — b)^2(a + b).\)
Анализ знаков:
- \(a > 0\) и \(b > 0\), следовательно \(a + b > 0.\)
- \((a — b)^2 \geq 0\), так как квадрат любого числа неотрицателен.
Таким образом, \((a — b)^2(a + b) > 0\), если \(a \neq b\).
Вывод:
\(a^3 + b^3 > ab(a + b)\), если \(a > 0\), \(b > 0\) и \(a \neq b\).
Алгебра
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.