ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 854 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Что больше: \(a^3 + b^3\) или \(ab(a + b)\), если \(a\) и \(b\) — неравные положительные числа?

Если \(a > 0\) и \(b > 0\).
\(a^3 + b^3 — (ab(a + b)) = a^3 + b^3 — a^2b — ab^2 = (a^3 — a^2b) + (b^3 — ab^2) =\)

\(a^2(a — b) — b^2(a — b) = (a^2 — b^2)(a — b) = (a — b)(a + b)(a — b) =\)

\((a — b)^2(a + b)\).

Так как \(a > 0\), \(b > 0\), то \(a + b > 0\). Значит \((a — b)^2(a + b) > 0\), поэтому
\(a^3 + b^3 > ab(a + b)\).

Дано: \(a > 0\) и \(b > 0\). Требуется сравнить \(a^3 + b^3\) и \(ab(a + b)\).

Решение:

Рассмотрим разность между \(a^3 + b^3\) и \(ab(a + b)\):

\((a^3 + b^3) — ab(a + b)\).

Раскроем скобки:

\((a^3 + b^3) — (a^2b + ab^2) = a^3 — a^2b + b^3 — ab^2.\)

Вынесем общие множители из первых двух и последних двух слагаемых:

\(a^2(a — b) + b^2(b — a).\)

Заметим, что \(b — a = -(a — b)\), поэтому:

\(a^2(a — b) — b^2(a — b).\)

Вынесем \((a — b)\) за скобки:

\((a — b)(a^2 — b^2).\)

Разложим \(a^2 — b^2\) как разность квадратов:

\((a — b)(a + b)(a — b) = (a — b)^2(a + b).\)

Анализ знаков:

• \(a > 0\) и \(b > 0\), следовательно \(a + b > 0.\)
• \((a — b)^2 \geq 0\), так как квадрат любого числа неотрицателен.

Таким образом, \((a — b)^2(a + b) > 0\), если \(a \neq b\).

Вывод:

\(a^3 + b^3 > ab(a + b)\), если \(a > 0\), \(b > 0\) и \(a \neq b\).