Учебник по математике для 8 класса авторов Макарычева и Миндюк является одним из самых популярных пособий в школьной программе. Он сочетает в себе доступное объяснение материала, разнообразные примеры и задания, что делает его незаменимым помощником для учащихся. Давайте рассмотрим основные особенности этого учебника.
Основные особенности учебника
- Структурированность материала
Учебник разделен на логические разделы, которые охватывают все ключевые темы 8 класса. Каждая глава начинается с краткого введения, что помогает учащимся понять, что они будут изучать. - Доступные объяснения
Авторы стараются объяснять сложные концепции простым и понятным языком. Это позволяет учащимся легче усваивать материал и применять его на практике. - Разнообразие задач
В учебнике представлено множество задач разного уровня сложности. Это позволяет учителям адаптировать задания под уровень подготовки класса и индивидуальные потребности учеников. - Практические примеры
Учебник содержит множество примеров из реальной жизни, что помогает учащимся видеть практическое применение математических знаний. Это делает процесс обучения более интересным и увлекательным. - Контрольные работы и тесты
В конце каждой главы предусмотрены контрольные задания, которые позволяют проверить усвоение материала. Это способствует подготовке к контрольным работам и экзаменам.
Заключение
Учебник по математике для 8 класса Макарычева и Миндюк — это качественное пособие, которое сочетает в себе теорию и практику. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе. Благодаря структурированному подходу и разнообразию заданий, этот учебник станет надежным помощником для каждого ученика, стремящегося к успеху в математике.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 853 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Докажите, что при \(a \geq 0\) и \(b \geq 0\) верно неравенство:
\[
\frac{a + b}{2} \leq \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}}.
\]
\[
\frac{a+b}{2} \leq \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}
\]
\[
\left(\frac{a+b}{2}\right)^2 \leq \left(\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\right)^2
\]
\[
\frac{a^2+2ab+b^2}{4} \leq \frac{a^2+b^2}{2}
\]
\[
\frac{a^2+2ab+b^2}{4} — \frac{a^2+b^2}{2} \leq 0
\]
\[
\frac{a^2+2ab+b^2 — 2a^2 — 2b^2}{4} \leq 0
\]
\[
\frac{-a^2-b^2+2ab}{4} \leq 0
\]
\[
\frac{-(a^2+b^2-2ab)}{4} \leq 0
\]
\[
\frac{-(a-b)^2}{4} \leq 0 \text{ — верно.}
\]
Докажем, что для \(a \geq 0\) и \(b \geq 0\) верно неравенство:
\frac{a + b}{2} \leq \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}}
\]
Возведем обе части неравенства в квадрат:
\left(\frac{a + b}{2}\right)^2 \leq \left(\sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}}\right)^2
\]
Упростим правую часть, избавляясь от корня:
\frac{(a + b)^2}{4} \leq \frac{a^2 + b^2}{2}
\]
Раскроем скобки в левой части:
\frac{a^2 + 2ab + b^2}{4} \leq \frac{a^2 + b^2}{2}
\]
Перенесем все в одну сторону:
\frac{a^2 + 2ab + b^2}{4} — \frac{a^2 + b^2}{2} \leq 0
\]
Приведем к общему знаменателю:
\frac{a^2 + 2ab + b^2 — 2a^2 — 2b^2}{4} \leq 0
\]
Упростим выражение в числителе:
\frac{-a^2 — b^2 + 2ab}{4} \leq 0
\]
Сгруппируем и упростим:
\frac{-(a^2 — 2ab + b^2)}{4} \leq 0
\]
Заметим, что выражение в скобках — это полный квадрат:
\frac{-(a-b)^2}{4} \leq 0
\]
Так как \((a-b)^2 \geq 0\) для любых вещественных \(a\) и \(b\), то:
-(a-b)^2 \leq 0
\]
Следовательно, исходное неравенство верно.
Алгебра
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.