ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 853 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что при \(a \geq 0\) и \(b \geq 0\) верно неравенство:

\[
\frac{a + b}{2} \leq \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}}.
\]

\[
\frac{a+b}{2} \leq \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}
\]

\[
\left(\frac{a+b}{2}\right)^2 \leq \left(\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\right)^2
\]

\[
\frac{a^2+2ab+b^2}{4} \leq \frac{a^2+b^2}{2}
\]

\[
\frac{a^2+2ab+b^2}{4} — \frac{a^2+b^2}{2} \leq 0
\]

\[
\frac{a^2+2ab+b^2 — 2a^2 — 2b^2}{4} \leq 0
\]

\[
\frac{-a^2-b^2+2ab}{4} \leq 0
\]

\[
\frac{-(a^2+b^2-2ab)}{4} \leq 0
\]

\[
\frac{-(a-b)^2}{4} \leq 0 \text{ — верно.}
\]

Докажем, что для \(a \geq 0\) и \(b \geq 0\) верно неравенство:

Возведем обе части неравенства в квадрат:

Упростим правую часть, избавляясь от корня:

Раскроем скобки в левой части:

Перенесем все в одну сторону:

Приведем к общему знаменателю:

Упростим выражение в числителе:

Сгруппируем и упростим:

Заметим, что выражение в скобках — это полный квадрат:

Так как \((a-b)^2 \geq 0\) для любых вещественных \(a\) и \(b\), то:

Следовательно, исходное неравенство верно.