Учебник по математике для 8 класса авторов Макарычева и Миндюк является одним из самых популярных пособий в школьной программе. Он сочетает в себе доступное объяснение материала, разнообразные примеры и задания, что делает его незаменимым помощником для учащихся. Давайте рассмотрим основные особенности этого учебника.
Основные особенности учебника
- Структурированность материала
Учебник разделен на логические разделы, которые охватывают все ключевые темы 8 класса. Каждая глава начинается с краткого введения, что помогает учащимся понять, что они будут изучать. - Доступные объяснения
Авторы стараются объяснять сложные концепции простым и понятным языком. Это позволяет учащимся легче усваивать материал и применять его на практике. - Разнообразие задач
В учебнике представлено множество задач разного уровня сложности. Это позволяет учителям адаптировать задания под уровень подготовки класса и индивидуальные потребности учеников. - Практические примеры
Учебник содержит множество примеров из реальной жизни, что помогает учащимся видеть практическое применение математических знаний. Это делает процесс обучения более интересным и увлекательным. - Контрольные работы и тесты
В конце каждой главы предусмотрены контрольные задания, которые позволяют проверить усвоение материала. Это способствует подготовке к контрольным работам и экзаменам.
Заключение
Учебник по математике для 8 класса Макарычева и Миндюк — это качественное пособие, которое сочетает в себе теорию и практику. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе. Благодаря структурированному подходу и разнообразию заданий, этот учебник станет надежным помощником для каждого ученика, стремящегося к успеху в математике.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 852 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
(Для работы в парах.) Докажите, что если \(a\) и \(b\) — положительные числа и \(a^2 > b^2\), то \(a > b\). Пользуясь этим свойством, сравните числа:
а) \(\sqrt{6} + \sqrt{3}\) и \(\sqrt{7} + \sqrt{2}\);
б) \(\sqrt{3} + 2\) и \(\sqrt{6} + 1\);
в) \(\sqrt{5} — 2\) и \(\sqrt{6} — \sqrt{3}\);
г) \(\sqrt{10} — \sqrt{7}\) и \(\sqrt{11} — \sqrt{6}\).
а) \(\sqrt{6} + \sqrt{3} > \sqrt{7} + \sqrt{2}\)
б) \(\sqrt{3} + 2 > \sqrt{6} + 1\)
в) \(\sqrt{5} — 2 < \sqrt{6} — \sqrt{3}\)
г) \(\sqrt{10} — \sqrt{7} < \sqrt{11} — \sqrt{6}\)
Если \(a > 0\) и \(b > 0\), то из условия \(a^2 > b^2\) следует:
\[
a^2 — b^2 > 0
\]
Разложим разность квадратов:
\[
(a — b)(a + b) > 0
\]
Так как \(a > 0\) и \(b > 0\), то \(a + b > 0\). Следовательно, \(a — b > 0\), что означает \(a > b\).
а) \(\sqrt{6} + \sqrt{3}\) и \(\sqrt{7} + \sqrt{2}\)
Оба числа положительны. Возведем их в квадрат:
\[
(\sqrt{6} + \sqrt{3})^2 = 6 + 2\sqrt{18} + 3 = 9 + 2\sqrt{18}
\]
\[
(\sqrt{7} + \sqrt{2})^2 = 7 + 2\sqrt{14} + 2 = 9 + 2\sqrt{14}
\]
Сравним подкоренные выражения:
\[
\sqrt{18} > \sqrt{14}
\]
Следовательно:
\[
9 + 2\sqrt{18} > 9 + 2\sqrt{14}
\]
Ответ: \(\sqrt{6} + \sqrt{3} > \sqrt{7} + \sqrt{2}\).
б) \(\sqrt{3} + 2\) и \(\sqrt{6} + 1\)
Оба числа положительны. Возведем их в квадрат:
\[
(\sqrt{3} + 2)^2 = 3 + 4\sqrt{3} + 4 = 7 + 4\sqrt{3}
\]
\[
(\sqrt{6} + 1)^2 = 6 + 2\sqrt{6} + 1 = 7 + 2\sqrt{6}
\]
Сравним подкоренные выражения:
\[
4\sqrt{3} > 2\sqrt{6}
\]
Следовательно:
\[
7 + 4\sqrt{3} > 7 + 2\sqrt{6}
\]
Ответ: \(\sqrt{3} + 2 > \sqrt{6} + 1\).
в) \(\sqrt{5} — 2\) и \(\sqrt{6} — \sqrt{3}\)
Оба числа положительны. Возведем их в квадрат:
\[
(\sqrt{5} — 2)^2 = 5 — 4\sqrt{5} + 4 = 9 — 4\sqrt{5}
\]
\[
(\sqrt{6} — \sqrt{3})^2 = 6 — 2\sqrt{18} + 3 = 9 — 2\sqrt{18}
\]
Сравним подкоренные выражения:
\[
\sqrt{18} > \sqrt{5}
\]
Следовательно:
\[
9 — 2\sqrt{18} < 9 — 4\sqrt{5}
\]
Ответ: \(\sqrt{5} — 2 < \sqrt{6} — \sqrt{3}\).
г) \(\sqrt{10} — \sqrt{7}\) и \(\sqrt{11} — \sqrt{6}\)
Оба числа положительны. Возведем их в квадрат:
\[
(\sqrt{10} — \sqrt{7})^2 = 10 — 2\sqrt{70} + 7 = 17 — 2\sqrt{70}
\]
\[
(\sqrt{11} — \sqrt{6})^2 = 11 — 2\sqrt{66} + 6 = 17 — 2\sqrt{66}
\]
Сравним подкоренные выражения:
\[
\sqrt{70} > \sqrt{66}
\]
Следовательно:
\[
17 — 2\sqrt{70} < 17 — 2\sqrt{66}
\]
Ответ: \(\sqrt{10} — \sqrt{7} < \sqrt{11} — \sqrt{6}\).
Алгебра
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.