ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 850 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Используя выделение квадрата двучлена, докажите неравенство:

a) \( a^2 — 6a + 14 > 0 \);
б) \( b^2 + 70 > 16b \).

а)
\( a^2 — 6a + 14 > 0 \)
\( a^2 — 6a + 9 + 5 > 0 \)
\( (a — 3)^2 + 5 > 0 \) при любом \( a > 0 \)

б)
\( b^2 + 70 > 16b \)
\( b^2 — 16b + 70 > 0 \)
\( b^2 — 16b + 64 + 6 > 0 \)
\( (b — 8)^2 + 6 > 0 \) при любом \( b > 0 \)

а) Доказать неравенство \( a^2 — 6a + 14 > 0 \)

Рассмотрим выражение \( a^2 — 6a + 14 \). Для удобства преобразуем его с помощью выделения полного квадрата:

Добавим и вычтем число \( 9 \), чтобы выделить квадрат:
\[
a^2 — 6a + 14 = a^2 — 6a + 9 + 5.
\]

Выразим квадрат:
\[
a^2 — 6a + 9 = (a — 3)^2.
\]

Подставим это обратно:
\[
a^2 — 6a + 14 = (a — 3)^2 + 5.
\]

Так как квадрат любого числа \( (a — 3)^2 \geq 0 \), то:
\[
(a — 3)^2 + 5 > 0
\]
при любом значении \( a \). Следовательно, неравенство доказано.

б) Доказать неравенство \( b^2 + 70 > 16b \)

Рассмотрим выражение \( b^2 + 70 — 16b \). Для удобства преобразуем его с помощью выделения полного квадрата:

Перепишем неравенство:
\[
b^2 — 16b + 70 > 0.
\]

Добавим и вычтем число \( 64 \), чтобы выделить квадрат:
\[
b^2 — 16b + 70 = b^2 — 16b + 64 + 6.
\]

Выразим квадрат:
\[
b^2 — 16b + 64 = (b — 8)^2.
\]

Подставим это обратно:
\[
b^2 — 16b + 70 = (b — 8)^2 + 6.
\]

Так как квадрат любого числа \( (b — 8)^2 \geq 0 \), то:
\[
(b — 8)^2 + 6 > 0
\]
при любом значении \( b \). Следовательно, неравенство доказано.