Учебник по математике для 8 класса авторов Макарычева и Миндюк является одним из самых популярных пособий в школьной программе. Он сочетает в себе доступное объяснение материала, разнообразные примеры и задания, что делает его незаменимым помощником для учащихся. Давайте рассмотрим основные особенности этого учебника.
Основные особенности учебника
- Структурированность материала
Учебник разделен на логические разделы, которые охватывают все ключевые темы 8 класса. Каждая глава начинается с краткого введения, что помогает учащимся понять, что они будут изучать. - Доступные объяснения
Авторы стараются объяснять сложные концепции простым и понятным языком. Это позволяет учащимся легче усваивать материал и применять его на практике. - Разнообразие задач
В учебнике представлено множество задач разного уровня сложности. Это позволяет учителям адаптировать задания под уровень подготовки класса и индивидуальные потребности учеников. - Практические примеры
Учебник содержит множество примеров из реальной жизни, что помогает учащимся видеть практическое применение математических знаний. Это делает процесс обучения более интересным и увлекательным. - Контрольные работы и тесты
В конце каждой главы предусмотрены контрольные задания, которые позволяют проверить усвоение материала. Это способствует подготовке к контрольным работам и экзаменам.
Заключение
Учебник по математике для 8 класса Макарычева и Миндюк — это качественное пособие, которое сочетает в себе теорию и практику. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе. Благодаря структурированному подходу и разнообразию заданий, этот учебник станет надежным помощником для каждого ученика, стремящегося к успеху в математике.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 845 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Докажите неравенство:
a) \(a(a + b) \geq ab\);
б) \(m^2 — mn + n^2 \geq mn\);
в) \(10a^2 — 5a + 1 \geq a^2 + a\);
г) \(2bc \leq b^2 + c^2\);
д) \(a(a — b) \geq b(a — b)\);
е) \(a^2 — a \leq 50a^2 — 15a + 1\).
a) \(a(a + b) \geq ab\)
\(a^2 + ab — ab \geq 0\)
\(a^2 \geq 0\)
б) \(m^2 — mn + n^2 \geq mn\)
\(m^2 — mn + n^2 — mn \geq 0\)
\(m^2 — 2mn + n^2 \geq 0\)
\((m — n)^2 \geq 0\)
в) \(10a^2 — 5a + 1 \geq a^2 + a\)
\(10a^2 — 5a + 1 — a^2 — a \geq 0\)
\(9a^2 — 6a + 1 \geq 0\)
\((3a — 1)^2 \geq 0\)
г) \(2bc \leq b^2 + c^2\)
\(b^2 + c^2 — 2bc \geq 0\)
\((b — c)^2 \geq 0\)
д) \(a(a — b) \geq b(a — b)\)
\(a^2 — ab — ab + b^2 \geq 0\)
\(a^2 — 2ab + b^2 \geq 0\)
\((a — b)^2 \geq 0\)
е) \(a^2 — a \leq 50a^2 — 15a + 1\)
\(50a^2 — 15a + 1 — a^2 + a \geq 0\)
\(49a^2 — 14a + 1 \geq 0\)
\((7a — 1)^2 \geq 0\)
а) \(a(a + b) \geq ab\)
Раскроем скобки:
\(a^2 + ab \geq ab\)
Упростим, убрав \(ab\):
\(a^2 \geq 0\)
Квадрат любого числа неотрицателен, значит, неравенство верно.
б) \(m^2 — mn + n^2 \geq mn\)
Перенесем \(mn\) влево:
\(m^2 — mn + n^2 — mn \geq 0\)
Сгруппируем:
\(m^2 — 2mn + n^2 \geq 0\)
Это полный квадрат:
\((m — n)^2 \geq 0\)
Квадрат любого числа неотрицателен, значит, неравенство верно.
в) \(10a^2 — 5a + 1 \geq a^2 + a\)
Перенесем всё влево:
\(10a^2 — 5a + 1 — a^2 — a \geq 0\)
Упростим:
\(9a^2 — 6a + 1 \geq 0\)
Это полный квадрат:
\((3a — 1)^2 \geq 0\)
Квадрат любого числа неотрицателен, значит, неравенство верно.
г) \(2bc \leq b^2 + c^2\)
Перенесем всё влево:
\(b^2 + c^2 — 2bc \geq 0\)
Это полный квадрат:
\((b — c)^2 \geq 0\)
Квадрат любого числа неотрицателен, значит, неравенство верно.
д) \(a(a — b) \geq b(a — b)\)
Раскроем скобки:
\(a^2 — ab \geq ab — b^2\)
Перенесем все влево:
\(a^2 — 2ab + b^2 \geq 0\)
Это полный квадрат:
\((a — b)^2 \geq 0\)
Квадрат любого числа неотрицателен, значит, неравенство верно.
е) \(a^2 — a \leq 50a^2 — 15a + 1\)
Перенесем всё влево:
\(50a^2 — 15a + 1 — a^2 + a \geq 0\)
Упростим:
\(49a^2 — 14a + 1 \geq 0\)
Это полный квадрат:
\((7a — 1)^2 \geq 0\)
Квадрат любого числа неотрицателен, значит, неравенство верно.
Алгебра
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.