Учебник по математике для 8 класса авторов Макарычева и Миндюк является одним из самых популярных пособий в школьной программе. Он сочетает в себе доступное объяснение материала, разнообразные примеры и задания, что делает его незаменимым помощником для учащихся. Давайте рассмотрим основные особенности этого учебника.
Основные особенности учебника
- Структурированность материала
Учебник разделен на логические разделы, которые охватывают все ключевые темы 8 класса. Каждая глава начинается с краткого введения, что помогает учащимся понять, что они будут изучать. - Доступные объяснения
Авторы стараются объяснять сложные концепции простым и понятным языком. Это позволяет учащимся легче усваивать материал и применять его на практике. - Разнообразие задач
В учебнике представлено множество задач разного уровня сложности. Это позволяет учителям адаптировать задания под уровень подготовки класса и индивидуальные потребности учеников. - Практические примеры
Учебник содержит множество примеров из реальной жизни, что помогает учащимся видеть практическое применение математических знаний. Это делает процесс обучения более интересным и увлекательным. - Контрольные работы и тесты
В конце каждой главы предусмотрены контрольные задания, которые позволяют проверить усвоение материала. Это способствует подготовке к контрольным работам и экзаменам.
Заключение
Учебник по математике для 8 класса Макарычева и Миндюк — это качественное пособие, которое сочетает в себе теорию и практику. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе. Благодаря структурированному подходу и разнообразию заданий, этот учебник станет надежным помощником для каждого ученика, стремящегося к успеху в математике.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 841 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Даны выражения
\( 4b(b + 1) \) и \( (2b + 7)(2b — 8) \).
Сравните их значения при \( b = -3; -2; 10 \). Можно ли утверждать, что при любом значении \( b \) значение первого выражения больше, чем значение второго?
4b(b + 1) = 4b² + 4b
(2b + 7)(2b — 8) = 4b² — 16b + 14b — 56 = 4b² — 2b + 56
Следовательно, все зависит от значения переменной b.
При b = -3
4b(b + 1) = 4 ⋅ (-3) ⋅ (-3 + 1) = -12 ⋅ (-2) = 24
(2b + 7)(2b — 8) = (2 ⋅ (-3) + 7)(2 ⋅ (-3) — 8) = (-6 + 7) ⋅ (-6 — 8) = 1 ⋅ (-14) = -14
24 > -14
При b = -2
4b(b + 1) = 4 ⋅ (-2) ⋅ (-2 + 1) = -8 ⋅ (-1) = 8
(2b + 7)(2b — 8) = (2 ⋅ (-2) + 7)(2 ⋅ (-2) — 8) = (-4 + 7) ⋅ (-4 — 8) = 3 ⋅ (-12) = -36
8 > -36
При b = 10
4b(b + 1) = 4 ⋅ 10 ⋅ (10 + 1) = 40 ⋅ 11 = 440
(2b + 7)(2b — 8) = (2 ⋅ 10 + 7)(2 ⋅ 10 — 8) = (20 + 7) ⋅ (20 — 8) = 27 ⋅ 12 = 324
440 > 324
Два выражения:
- 4b(b + 1) = \( 4b^2 + 4b \)
- (2b + 7)(2b — 8) = \( 4b^2 — 2b + 56 \)
Рассмотрим значения при различных \( b \):
При \( b = -3 \):
Подставляем \( b = -3 \) в первое выражение:
\( 4b(b + 1) = 4 \cdot (-3) \cdot (-3 + 1) = 4 \cdot (-3) \cdot (-2) = 24 \)
Подставляем \( b = -3 \) во второе выражение:
\( (2b + 7)(2b — 8) = (2 \cdot (-3) + 7) \cdot (2 \cdot (-3) — 8) = (-6 + 7) \cdot (-6 — 8) =\)
\(1 \cdot (-14) = -14 \)
Сравниваем: \( 24 > -14 \)
При \( b = -2 \):
Подставляем \( b = -2 \) в первое выражение:
\( 4b(b + 1) = 4 \cdot (-2) \cdot (-2 + 1) = 4 \cdot (-2) \cdot (-1) = 8 \)
Подставляем \( b = -2 \) во второе выражение:
\( (2b + 7)(2b — 8) = (2 \cdot (-2) + 7) \cdot (2 \cdot (-2) — 8) = (-4 + 7) \cdot (-4 — 8) =\)
\(3 \cdot (-12) = -36 \)
Сравниваем: \( 8 > -36 \)
При \( b = 10 \):
Подставляем \( b = 10 \) в первое выражение:
\( 4b(b + 1) = 4 \cdot 10 \cdot (10 + 1) = 4 \cdot 10 \cdot 11 = 440 \)
Подставляем \( b = 10 \) во второе выражение:
\( (2b + 7)(2b — 8) = (2 \cdot 10 + 7) \cdot (2 \cdot 10 — 8) = (20 + 7) \cdot (20 — 8) =\)
\(27 \cdot 12 = 324 \)
Сравниваем: \( 440 > 324 \)
Вывод:
Во всех рассмотренных случаях значение первого выражения больше, чем значение второго.
Однако для доказательства этого утверждения для всех значений \( b \) необходимо провести полное аналитическое исследование.
Алгебра
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.