ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 818 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Мотоциклист ехал из одного города в другой 4 ч. На обратном пути первые 100 км он ехал с той же скоростью, а затем уменьшил её на 10 км/ч и поэтому на обратный путь затратил на 30 мин больше. Найдите расстояние между городами.

Мотоциклист ехал из одного города в другой за 4 часа. На обратном пути первые 100 км он ехал с той же скоростью, а затем уменьшил её на 10 км/ч. На обратный путь он потратил на 30 минут больше. Найти расстояние между городами.

Решение

Обозначения

Пусть:

• Скорость мотоциклиста на пути туда — x км/ч.
• Скорость мотоциклиста на втором участке обратного пути — x — 10 км/ч.
• Расстояние между городами — S.

Время движения туда равно:

t_туда = S / x = 4

На обратном пути:

• • Первые 100 км он ехал со скоростью x, время на этот участок:

t₁ = 100 / x

• • Оставшееся расстояние S — 100 он проехал со скоростью x — 10, время на этот участок:

t₂ = (S — 100) / (x — 10)

Общее время обратного пути:

t_обратно = t₁ + t₂ = 100 / x + (S — 100) / (x — 10)

По условию задачи, обратный путь занял на 0,5 часа больше:

t_обратно = t_туда + 0,5

Подставляем:

100 / x + (S — 100) / (x — 10) = 4 + 0,5

Упростим выражение:

100 / x + (S — 100) / (x — 10) = 4,5

Составление уравнения

Подставляем S = 4x (расстояние туда и обратно одинаково):

100 / x + (4x — 100) / (x — 10) = 4,5

Умножим на x(x — 10), чтобы избавиться от знаменателей:

x(4x — 100) + 100(x — 10) = 4,5x(x — 10)

Раскрываем скобки:

4x² — 100x + 100x — 1000 = 4,5x² — 45x

Приводим подобные:

-0,5x² + 45x — 1000 = 0

Умножим на -2, чтобы избавиться от дробей:

x² — 90x + 2000 = 0

Решение квадратного уравнения

Коэффициенты:

• a = 1
• b = -90
• c = 2000

Дискриминант:

D = b² — 4ac = (-90)² — 4 * 1 * 2000 = 8100 — 8000 = 100

Корни уравнения:

x₁, x₂ = (-b ± √D) / 2a

x₁ = (90 + 10) / 2 = 50

x₂ = (90 — 10) / 2 = 40

Нахождение расстояния

Если x₁ = 50, то:

S = 4 * 50 = 200 км

Если x₂ = 40, то:

S = 4 * 40 = 160 км

Ответ: 160 км или 200 км

Задача: Мотоциклист ехал из одного города в другой 4 часа. На обратном пути первые 100 км он ехал с той же скоростью, а затем уменьшил её на 10 км/ч, из-за чего на обратный путь он затратил на 30 минут больше. Найдите расстояние между городами.

Решение:

Обозначения:

Пусть:

• Скорость мотоциклиста на пути туда — \( x \) км/ч;
• Скорость мотоциклиста на втором участке обратного пути — \( x — 10 \) км/ч;
• Расстояние между городами — \( S \) км.

Шаг 1: Время на пути туда:

Так как мотоциклист ехал из одного города в другой за 4 часа, то время на пути туда равно:

\( t_{\text{туда}} = \frac{S}{x} = 4
\)

Шаг 2: Время на обратном пути:

На обратном пути:

Первые 100 км он ехал со скоростью \( x \), время на этот участок:

\( t_1 = \frac{100}{x}
\)

Оставшееся расстояние \( S — 100 \) он проехал со скоростью \( x — 10 \), время на этот участок:

\( t_2 = \frac{S — 100}{x — 10}
\)

Общее время на обратный путь:

\( t_{\text{обратно}} = t_1 + t_2 = \frac{100}{x} + \frac{S — 100}{x — 10}
\)

Шаг 3: Условие задачи:

По условию задачи, на обратный путь он потратил на 30 минут больше:

\( t_{\text{обратно}} = t_{\text{туда}} + 0.5
\)

Подставляем значения:

\[
\frac{100}{x} + \frac{S — 100}{x — 10} = 4 + 0.5 = 4.5
\]

Шаг 4: Подставляем \( S = 4x \) (расстояние туда и обратно одинаково):

Подставим \( S = 4x \) в уравнение:

\[
\frac{100}{x} + \frac{4x — 100}{x — 10} = 4.5
\]

Шаг 5: Умножаем на \( x(x — 10) \), чтобы избавиться от знаменателей:

Умножаем обе стороны на \( x(x — 10) \):

\[
x(4x — 100) + 100(x — 10) = 4.5x(x — 10)
\]

Раскрываем скобки:

\[
4x^2 — 100x + 100x — 1000 = 4.5x^2 — 45x
\]

Упрощаем выражение:

\[
4x^2 — 1000 = 4.5x^2 — 45x
\]

Переносим все в одну сторону:

\[
4x^2 — 1000 — 4.5x^2 + 45x = 0
\]

Упрощаем:

\[
-0.5x^2 + 45x — 1000 = 0
\]

Умножаем на -2, чтобы избавиться от дробей:

\[
x^2 — 90x + 2000 = 0
\]

Шаг 6: Решаем квадратное уравнение:

Коэффициенты: \( a = 1 \), \( b = -90 \), \( c = 2000 \).

Дискриминант:

\[
D = (-90)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2000 = 8100 — 8000 = 100
\]

Корни уравнения:

\[
x_1, x_2 = \frac{-(-90) \pm \sqrt{100}}{2 \cdot 1}
\]

Находим корни:

\[
x_1 = \frac{90 + 10}{2} = 50
\]

\[
x_2 = \frac{90 — 10}{2} = 40
\]

Шаг 7: Находим расстояние:

Если \( x_1 = 50 \), то:

\( S = 4 \cdot 50 = 200 \, \text{км}
\)

Если \( x_2 = 40 \), то:

\( S = 4 \cdot 40 = 160 \, \text{км}
\)

Ответ: Расстояние между городами — 160 км или 200 км.