ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 81 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Выполните вычитание дробей:

а) \(\frac{x-y}{xy} — \frac{x-z}{xz}\);

б) \(\frac{a-2b}{3b} — \frac{b-2a}{3a}\);

в) \(\frac{p-q}{p^3 q^2} — \frac{p+q}{p^2 q^3}\);

г) \(\frac{3m-n}{3m^2 n} — \frac{2n-m}{2mn^2}\).

а)
\(\frac{x-y}{xy} — \frac{x-z}{xz} = \frac{xz-yz}{xyz} — \frac{xy-zy}{xyz} = \frac{xz-yz-(xy-zy)}{xyz} = \frac{xz-yz-xy+zy}{xyz} = \frac{x(z-y)}{xyz} = \frac{z-y}{yz}\)

б)
\(\frac{a-2b}{3b} — \frac{b-2a}{3a} = \frac{a^2 — 2ab}{3ab} — \frac{b^2 — 2ab}{3ab} = \frac{a^2 — 2ab — (b^2 — 2ab)}{3ab} = \frac{a^2 — b^2}{3ab}\)

в)
\(\frac{p-q}{p^3 q^2} — \frac{p+q}{p^2 q^3} = \frac{pq — q^2}{p^3 q^3} — \frac{p^2 + pq}{p^3 q^3} = \frac{p^2 + pq — (p^2 + pq)}{p^3 q^3} = \frac{pq — q^2 — p^2 — pq}{p^3 q^3} = \frac{-q^2 — p^2}{p^3 q^3}\)

г)
\(\frac{3m-n}{3m^2 n} — \frac{2n-m}{2mn^2} = \frac{6mn — 2n^2}{6m^2 n^2} — \frac{6mn — 3m^2}{6m^2 n^2} = \frac{6mn — 2n^2 — (6mn — 3m^2)}{6m^2 n^2} = \frac{-2n^2 + 3m^2}{6m^2 n^2} =\)

\(\frac{3m^2 — 2n^2}{6m^2 n^2}\)

а) Упрощение дробей

Дано выражение:
\[
\frac{x-y}{xy} — \frac{x-z}{xz}
\]

Приведем дроби к общему знаменателю \(xyz\):
\[
\frac{(x-y)z}{xyz} — \frac{(x-z)y}{xyz} = \frac{xz-yz — xy + zy}{xyz}
\]

Сгруппируем и упростим числитель:
\[
= \frac{x(z-y)}{xyz} = \frac{z-y}{yz}
\]

Таким образом, окончательный результат:
\[
\frac{z-y}{yz}
\]

б) Упрощение выражений с переменными

Дано выражение:
\[
\frac{a-2b}{3b} — \frac{b-2a}{3a}
\]

Приведем к общему знаменателю \(3ab\):
\[
\frac{a(a-2b)}{3ab} — \frac{b(b-2a)}{3ab} = \frac{a^2 — 2ab — (b^2 — 2ab)}{3ab}
\]

Упростим числитель:
\[
= \frac{a^2 — b^2}{3ab}
\]

Это окончательный результат:
\[
\frac{a^2 — b^2}{3ab}
\]

в) Работа с более сложными дробями

Дано выражение:
\[
\frac{p-q}{p^3 q^2} — \frac{p+q}{p^2 q^3}
\]

Приведем к общему знаменателю \(p^3 q^3\):
\[
\frac{q(p-q)}{p^3 q^3} — \frac{p(p+q)}{p^3 q^3}
\]

Упростим числитель:
\[
= \frac{pq — q^2 — (p^2 + pq)}{p^3 q^3} = \frac{-q^2 — p^2}{p^3 q^3}
\]

Таким образом, окончательный результат:
\[
\frac{-q^2 — p^2}{p^3 q^3}
\]

г) Работа с дробями, содержащими несколько переменных

Дано выражение:
\[
\frac{3m-n}{3m^2 n} — \frac{2n-m}{2mn^2}
\]

Приведем к общему знаменателю \(6m^2 n^2\):
\[
\frac{2n(3m-n)}{6m^2 n^2} — \frac{3m(2n-m)}{6m^2 n^2}
\]

Упростим числитель:
\[
= \frac{6mn — 2n^2 — (6mn — 3m^2)}{6m^2 n^2} = \frac{-2n^2 + 3m^2}{6m^2 n^2}
\]

Это окончательный результат:
\[
\frac{3m^2 — 2n^2}{6m^2 n^2}
\]