Учебник по математике для 8 класса авторов Макарычева и Миндюк является одним из самых популярных пособий в школьной программе. Он сочетает в себе доступное объяснение материала, разнообразные примеры и задания, что делает его незаменимым помощником для учащихся. Давайте рассмотрим основные особенности этого учебника.
Основные особенности учебника
- Структурированность материала
Учебник разделен на логические разделы, которые охватывают все ключевые темы 8 класса. Каждая глава начинается с краткого введения, что помогает учащимся понять, что они будут изучать. - Доступные объяснения
Авторы стараются объяснять сложные концепции простым и понятным языком. Это позволяет учащимся легче усваивать материал и применять его на практике. - Разнообразие задач
В учебнике представлено множество задач разного уровня сложности. Это позволяет учителям адаптировать задания под уровень подготовки класса и индивидуальные потребности учеников. - Практические примеры
Учебник содержит множество примеров из реальной жизни, что помогает учащимся видеть практическое применение математических знаний. Это делает процесс обучения более интересным и увлекательным. - Контрольные работы и тесты
В конце каждой главы предусмотрены контрольные задания, которые позволяют проверить усвоение материала. Это способствует подготовке к контрольным работам и экзаменам.
Заключение
Учебник по математике для 8 класса Макарычева и Миндюк — это качественное пособие, которое сочетает в себе теорию и практику. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе. Благодаря структурированному подходу и разнообразию заданий, этот учебник станет надежным помощником для каждого ученика, стремящегося к успеху в математике.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 804 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Решите уравнение:
а) \(\frac{2x + 1}{2x — 1} — \frac{3(2x — 1)}{7(2x + 1)} + \frac{8}{1 — 4x^2} = 0\);
б) \(\frac{y}{y^2 — 9} — \frac{1}{y^2 + 3y} + \frac{3}{6y + 2y^2} = 0\);
в) \(\frac{2y — 1}{14y^2 + 7y} + \frac{8}{12y^2 — 3} = \frac{2y + 1}{6y^2 — 3y}\);
г) \(\frac{3}{x^2 — 9} — \frac{1}{9 — 6x + x^2} = \frac{3}{2x^2 + 6x}\);
д) \(\frac{9x + 12}{x^3 — 64} — \frac{3}{x^2 + 4x + 16} = \frac{1}{x — 4}\);
е) \(\frac{3}{8y^3 + 1} + \frac{1}{2y + 1} = \frac{y + 3}{4y^2 — 2y + 1}\);
ж) \(\frac{32}{x^3 — 2x^2 — x + 2} + \frac{1}{(x-1)(x-2)} = \frac{1}{x + 1}\);
з) \(\frac{1}{3(x-4)} + \frac{1}{2(x^2 + 3)} + \frac{1}{x^3 — 4x + 3x — 12} = 0\).
а) \(x = \frac{-5 + \sqrt{77}}{4}, \frac{-5 — \sqrt{77}}{4}\)
б) \(y = -1.5, 1\)
в) Нет корней.
г) \(x = 9\)
д) \(x = 0\)
е) \(y = -\frac{1}{3}\)
ж) \(x = 2 + \sqrt{35}, 2 — \sqrt{35}\)
з) \(x = 0, -1.5\)
а) Решение уравнения:
\(\frac{2x + 1}{2x — 1} — \frac{3(2x — 1)}{7(2x + 1)} + \frac{8}{1 — 4x^2} = 0\)
Условия: \(x \neq -0.5\); \(x \neq 0.5\)
Приведем к общему знаменателю и упростим:
\(7(2x + 1)(2x + 1) — 3(2x — 1)(2x — 1) — 56 = 0\)
Раскроем скобки и упростим:
\(7(4x^2 + 4x + 1) — 3(4x^2 — 4x + 1) — 56 = 0\)
\(28x^2 + 28x + 7 — 12x^2 + 12x — 3 — 56 = 0\)
\(16x^2 + 40x — 52 = 0\)
\(4x^2 + 10x — 13 = 0\)
Найдем дискриминант:
\(D = b^2 — 4ac = 10^2 — 4 \cdot 4 \cdot (-13) = 100 + 208 = 308 > 0\)
\(\sqrt{D} = \sqrt{308} = 2\sqrt{77}\)
Найдем корни:
\(x_1 = \frac{-10 + 2\sqrt{77}}{2 \cdot 4} = \frac{-5 + \sqrt{77}}{4}\)
\(x_2 = \frac{-10 — 2\sqrt{77}}{2 \cdot 4} = \frac{-5 — \sqrt{77}}{4}\)
Ответ: \(x = \frac{-5 + \sqrt{77}}{4}, \frac{-5 — \sqrt{77}}{4}\)
б) Решение уравнения:
\(\frac{y}{y^2 — 9} — \frac{1}{y^2 + 3y} + \frac{3}{6y + 2y^2} = 0\)
Условия: \(y \neq -3\); \(y \neq 3\); \(y \neq 0\)
Приведем к общему знаменателю и упростим:
\(2y^2 — 2(y — 3) + 3(y — 3) = 0\)
Упростим уравнение:
\(2y^2 — 2y + 6 + 3y — 9 = 0\)
\(2y^2 + y — 3 = 0\)
Найдем дискриминант:
\(D = b^2 — 4ac = 1^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25 > 0\)
\(\sqrt{D} = 5\)
Найдем корни:
\(y_1 = \frac{-1 + 5}{2 \cdot 2} = 1\)
\(y_2 = \frac{-1 — 5}{2 \cdot 2} = -1.5\)
Ответ: \(y = -1.5; 1\)
в) Решение уравнения:
\(\frac{2y — 1}{14y^2 + 7y} + \frac{8}{12y^2 — 3} = \frac{2y + 1}{6y^2 — 3y}\)
Условия: \(y \neq -0.5\); \(y \neq 0.5\); \(y \neq 0\)
Приведем к общему знаменателю и упростим:
\(3(2y — 1)^2 + 56y — 7(2y + 1)^2 = 0\)
Раскроем скобки и упростим:
\(3(4y^2 — 4y + 1) + 56y — 7(4y^2 + 4y + 1) = 0\)
\(12y^2 — 12y + 3 + 56y — 28y^2 — 28y — 7 = 0\)
\(-16y^2 + 16y — 4 = 0\)
\(4y^2 — 4y + 1 = 0\)
Найдем дискриминант:
\(D = b^2 — 4ac = (-4)^2 — 4 \cdot 4 \cdot 1 = 16 — 16 = 0\)
Корень: \(y = \frac{4}{2 \cdot 4} = 0.5\) — не подходит по условию
Ответ: нет корней.
г) Решение уравнения:
\(\frac{3}{x^2 — 9} — \frac{1}{9 — 6x + x^2} = \frac{3}{2x^2 + 6x}\)
Условия: \(x \neq -3\); \(x \neq 3\); \(x \neq 0\)
Приведем к общему знаменателю и упростим:
\(6x(x — 3) — 2x(x + 3) — 3(x — 3)^2 = 0\)
Раскроем скобки и упростим:
\(6x^2 — 18x — 2x^2 — 6x — 3(x^2 — 6x + 9) = 0\)
\(4x^2 — 24x — 3x^2 + 18x — 27 = 0\)
\(x^2 — 6x — 27 = 0\)
Найдем дискриминант:
\(D = b^2 — 4ac = (-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-27) = 36 + 108 = 144 > 0\)
\(\sqrt{D} = 12\)
Найдем корни:
\(x_1 = \frac{6 + 12}{2 \cdot 1} = 9\)
\(x_2 = \frac{6 — 12}{2 \cdot 1} = -3\) — не подходит по условию
Ответ: \(x = 9\)
д) Решение уравнения:
\(\frac{9x + 12}{x^3 — 64} — \frac{3}{x^2 + 4x + 16} = \frac{1}{x — 4}\)
Условия: \(x \neq 4\)
Приведем к общему знаменателю и упростим:
\(9x + 12 — (x — 4) — (x^2 + 4x + 16) = 0\)
Упростим уравнение:
\(9x + 12 — x + 4 — x^2 — 4x — 16 = 0\)
\(-x^2 + 4x = 0\)
\(-x(x — 4) = 0\)
Найдем корни:
\(x = 0\) или \(x = 4\) — не подходит по условию
Ответ: \(x = 0\)
е) Решение уравнения:
\(\frac{3}{8y^3 + 1} + \frac{1}{2y + 1} = \frac{y + 3}{4y^2 — 2y + 1}\)
Условия: \(y \neq -0.5\)
Приведем к общему знаменателю и упростим:
\(3 — (4y^2 — 2y + 1) — (y + 3)(2y + 1) = 0\)
Упростим уравнение:
3 — 4y^2 + 2y — 1 — 2y^2 — y — 6y — 3 = 0
-6y^2 — 5y — 1 = 0
6y^2 + 5y + 1 = 0
Найдем дискриминант:
D = b^2 — 4ac = 5^2 — 4 * 6 * 1 = 25 — 24 = 1 > 0
\(\sqrt{D} = 1\)
Найдем корни:
\(y_1 = \frac{-5 + 1}{2 \cdot 6} = \frac{-4}{12} = -\frac{1}{3}\)
\(y_2 = \frac{-5 — 1}{2 \cdot 6} = \frac{-6}{12} = -0.5\) — не подходит по условию
Ответ: \(y = -\frac{1}{3}\)
ж) Решение уравнения:
\(\frac{32}{x^3 — 2x^2 — x + 2} + \frac{1}{(x-1)(x-2)} = \frac{1}{x + 1}\)
Условия: \(x \neq -1\); \(x \neq 1\); \(x \neq 2\)
Приведем к общему знаменателю и упростим:
32 + (x + 1) = (x — 1)(x — 2)
Раскроем скобки и упростим:
32 + x + 1 = x^2 — 2x — x + 2
x^2 — 3x + 2 — 33 — x = 0
x^2 — 4x — 31 = 0
Найдем дискриминант:
D = b^2 — 4ac = (-4)^2 — 4 * 1 * (-31) = 16 + 124 = 140 > 0
\(\sqrt{D} = \sqrt{140} = 2\sqrt{35}\)
Найдем корни:
\(x_1 = \frac{4 + 2\sqrt{35}}{2 \cdot 1} = 2 + \sqrt{35}\)
\(x_2 = \frac{4 — 2\sqrt{35}}{2 \cdot 1} = 2 — \sqrt{35}\)
Ответ: \(x = 2 + \sqrt{35}; 2 — \sqrt{35}\)
з) Решение уравнения:
\(\frac{1}{3(x-4)} + \frac{1}{2(x^2 + 3)} + \frac{1}{x^3 — 4x + 3x — 12} = 0\)
Условия: \(x \neq 4\)
Приведем к общему знаменателю и упростим:
2(x^2 + 3) + 3(x — 4) + 6 = 0
Раскроем скобки и упростим:
2x^2 + 6 + 3x — 12 + 6 = 0
2x^2 + 3x = 0
Найдем корни:
x(2x + 3) = 0
x = 0 или 2x + 3 = 0
2x = -3
x = -1.5
Ответ: \(x = 0; -1.5\)
Алгебра
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.