Учебник по математике для 8 класса авторов Макарычева и Миндюк является одним из самых популярных пособий в школьной программе. Он сочетает в себе доступное объяснение материала, разнообразные примеры и задания, что делает его незаменимым помощником для учащихся. Давайте рассмотрим основные особенности этого учебника.
Основные особенности учебника
- Структурированность материала
Учебник разделен на логические разделы, которые охватывают все ключевые темы 8 класса. Каждая глава начинается с краткого введения, что помогает учащимся понять, что они будут изучать. - Доступные объяснения
Авторы стараются объяснять сложные концепции простым и понятным языком. Это позволяет учащимся легче усваивать материал и применять его на практике. - Разнообразие задач
В учебнике представлено множество задач разного уровня сложности. Это позволяет учителям адаптировать задания под уровень подготовки класса и индивидуальные потребности учеников. - Практические примеры
Учебник содержит множество примеров из реальной жизни, что помогает учащимся видеть практическое применение математических знаний. Это делает процесс обучения более интересным и увлекательным. - Контрольные работы и тесты
В конце каждой главы предусмотрены контрольные задания, которые позволяют проверить усвоение материала. Это способствует подготовке к контрольным работам и экзаменам.
Заключение
Учебник по математике для 8 класса Макарычева и Миндюк — это качественное пособие, которое сочетает в себе теорию и практику. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе. Благодаря структурированному подходу и разнообразию заданий, этот учебник станет надежным помощником для каждого ученика, стремящегося к успеху в математике.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 798 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Решите уравнение:
а) \(\frac{x+1}{6} + \frac{20}{x-1} = 4\);
б) \(\frac{x+15}{4} — \frac{21}{x+2} = 2\);
в) \(\frac{12}{x-1} — \frac{8}{x+2} = 1\);
г) \(\frac{16}{x-3} + \frac{30}{1-x} = 3\);
д) \(\frac{3}{1-x} + \frac{1}{1+x} = \frac{28}{1-x^2}\);
е) \(\frac{5}{x-2} — \frac{3}{x+2} = \frac{20}{x^2-4}\);
ж) \(\frac{x+2}{x+1} + \frac{x+3}{x-2} = \frac{29}{(x+1)(x-2)}\);
з) \(\frac{x+2}{x+3} — \frac{x+1}{x-1} = \frac{4}{(x+3)(x-1)}\).
а) 11; 13
б) -14; 5
в) -3; 7
г) -5; 4⅓
д) 12
е) нет корней
ж) -5; 3
з) нет корней
Уравнение а)
\[
\frac{x+1}{6} + \frac{20}{x-1} = 4
\]
1. Приведем к общему знаменателю и умножим на \(6(x-1)\):
\[
(x+1)(x-1) + 120 = 24(x-1)
\]
2. Раскроем скобки:
\[
x^2 — 1 + 120 = 24x — 24
\]
3. Приведем к стандартному виду квадратного уравнения:
\[
x^2 — 24x + 143 = 0
\]
4. Найдем дискриминант:
\[
D = b^2 — 4ac = (-24)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 143 = 576 — 572 = 4
\]
5. Найдем корни уравнения:
\[
x_1 = \frac{24 + 2}{2} = 13
\]
\[
x_2 = \frac{24 — 2}{2} = 11
\]
Ответ: 11; 13.
Уравнение б)
\[
\frac{x+15}{4} — \frac{21}{x+2} = 2
\]
1. Приведем к общему знаменателю и умножим на \(4(x+2)\):
\[
(x+15)(x+2) — 84 = 8(x+2)
\]
2. Раскроем скобки:
\[
x^2 + 2x + 15x + 30 — 84 = 8x + 16
\]
3. Приведем к стандартному виду квадратного уравнения:
\[
x^2 + 9x — 70 = 0
\]
4. Найдем дискриминант:
\[
D = b^2 — 4ac = 9^2 + 280 = 361
\]
5. Найдем корни уравнения:
\[
x_1 = \frac{-9 + 19}{2} = 5
\]
\[
x_2 = \frac{-9 — 19}{2} = -14
\]
Ответ: -14; 5.
Уравнение в)
\[
\frac{12}{x-1} — \frac{8}{x+2} = 1
\]
1. Приведем к общему знаменателю и умножим на \((x-1)(x+2)\):
\[
12(x+2) — 8(x-1) = (x-1)(x+2)
\]
2. Раскроем скобки:
\[
12x + 24 — 8x + 8 = x^2 — 1
\]
3. Приведем к стандартному виду квадратного уравнения:
\[
x^2 — 4x — 21 = 0
\]
4. Найдем дискриминант:
\[
D = b^2 — 4ac = 16 + 84 = 100
\]
5. Найдем корни уравнения:
\[
x_1 = \frac{4 + 10}{2} = 7
\]
\[
x_2 = \frac{4 — 10}{2} = -3
\]
Ответ: -3; 7.
Уравнение г)
\[
\frac{16}{x-3} + \frac{30}{1-x} = 3
\]
1. Приведем к общему знаменателю и умножим на \( (x-3)(1-x) \):
\[
16(1-x) + 30(x-3) = 3(x-3)(1-x)
\]
2. Раскроем скобки:
\[
16 — 16x + 30x — 90 = 3(-x^2 + 3x + 3x — 9)
\]
3. Приведем к стандартному виду квадратного уравнения:
\[
3x^2 + 2x — 65 = 0
\]
4. Найдем дискриминант:
\[
D = b^2 — 4ac = 4 + 780 = 784
\]
5. Найдем корни уравнения:
\[
x_1 = \frac{-2 + 28}{6} = 4 \frac{1}{3}
\]
\[
x_2 = \frac{-2 — 28}{6} = -5
\]
Ответ: -5; 4 \frac{1}{3}.
Уравнение д)
\[
\frac{3}{1-x} + \frac{1}{1+x} = \frac{28}{1-x^2}
\]
1. Приведем к общему знаменателю и умножим на \((1+x)(1-x)\):
\[
3(1+x) + (1-x) = 28
\]
2. Раскроем скобки:
\[
3 + 3x + 1 — x = 28
\]
3. Решим уравнение:
\[
2x = 24
\]
\[
x = 12
\]
Ответ: 12.
Уравнение е)
\[
\frac{5}{x-2} — \frac{3}{x+2} = \frac{20}{x^2-4}
\]
1. Приведем к общему знаменателю и умножим на \((x+2)(x-2)\):
\[
5(x+2) — 3(x-2) = 20
\]
2. Раскроем скобки:
\[
10 + 5x — 3x + 6 = 20
\]
3. Решим уравнение:
\[
2x = 4
\]
\[
x = 2
\]
Поскольку \(x = 2\) не подходит по условию, уравнение не имеет корней.
Ответ: нет корней.
Уравнение ж)
\[
\frac{x+2}{x+1} + \frac{x+3}{x-2} = \frac{29}{(x+1)(x-2)}
\]
1. Приведем к общему знаменателю и умножим на \((x+1)(x-2)\):
\[
(x+2)(x-2) + (x+3)(x+1) = 29
\]
2. Раскроем скобки:
\[
x^2 — 4 + x^2 + x + 3x + 3 = 29
\]
3. Приведем к стандартному виду квадратного уравнения:
\[
x^2 + 2x — 15 = 0
\]
4. Найдем дискриминант:
\[
D = b^2 — 4ac = 4 + 60 = 64
\]
5. Найдем корни уравнения:
\[
x_1 = \frac{-2 + 8}{2} = 3
\]
\[
x_2 = \frac{-2 — 8}{2} = -5
\]
Ответ: -5; 3.
Уравнение з)
\[
\frac{x+2}{x+3} — \frac{x+1}{x-1} = \frac{4}{(x+3)(x-1)}
\]
1. Приведем к общему знаменателю и умножим на \((x+3)(x-1)\):
\[
(x+2)(x-1) — (x+1)(x+3) = 4
\]
2. Раскроем скобки:
\[
x^2 — x + 2x — 2 — (x^2 + 3x + x + 3) = 4
\]
3. Приведем к стандартному виду:
\[
-3x = 9
\]
\[
x = -3
\]
Поскольку \(x = -3\) не подходит по условию, уравнение не имеет корней.
Ответ: нет корней.
Алгебра
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.