ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 792 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Сумма положительных чисел \(a\) и \(b\) равна 40. При каких значениях \(a\) и \(b\) их произведение будет наибольшим?

\(a + b = 40, \, a > 0, \, b > 0\)
\(b = 40 — a\)

\(ab = (40 — a)a = 40a — a^2 = — (a^2 — 40a + 400 — 400) =\)

\(- ((a — 20)^2 — 400) = -(a — 20)^2 + 400\)

Если \(a = 20\), то произведение \(ab\) будет наибольшим. Тогда \(b = 40 — 20 = 20\).

Ответ: \(b = 20, \, a = 20\).

Пусть сумма двух положительных чисел \(a\) и \(b\) равна 40. Найдем такие значения \(a\) и \(b\), при которых их произведение будет максимальным.

Шаги решения:

Запишем условие задачи:

\(a + b = 40\)

\(a > 0, b > 0\)

Выразим одно из чисел через другое. Пусть \(b = 40 — a\).

Запишем выражение для произведения \(ab\):

\(ab = a \cdot b = a \cdot (40 — a) = 40a — a^2\)

Максимизируем выражение \(40a — a^2\). Для этого преобразуем его в удобную форму:

\(40a — a^2 = — (a^2 — 40a)\)

Добавим и вычтем 400: \(- (a^2 — 40a + 400 — 400) = — ((a — 20)^2 — 400)\)

Получим: \(ab = -(a — 20)^2 + 400\)

Так как \(-(a — 20)^2\) всегда отрицательно или равно нулю, максимум достигается, когда \((a — 20)^2 = 0\), то есть \(a = 20\).

Подставим найденное значение \(a\) в выражение для \(b\):

\(b = 40 — a = 40 — 20 = 20\)

Ответ:

Произведение \(ab\) будет максимальным, когда \(a = 20\) и \(b = 20\).