ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 788 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Пусть a и b — корни трёхчлена \(x^2 + px + q\), причём \(ab = 4\) и \(\sqrt{a} + \sqrt{b} = 3\). Чему равно a и чему равно b?

Ответ: 1; 4.

Дано: \(ab = 4\) и \(\sqrt{a} + \sqrt{b} = 3\).

Нужно найти значения \(a\) и \(b\).

Решение

Из условия \(\sqrt{a} + \sqrt{b} = 3\) возведем обе части в квадрат:
\[
(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = 3^2 \Rightarrow a + 2\sqrt{ab} + b = 9
\]

Поскольку \(ab = 4\), то \(2\sqrt{ab} = 2\sqrt{4} = 4\). Подставим это в уравнение:
\[
a + b + 4 = 9 \Rightarrow a + b = 5
\]

Теперь у нас есть система уравнений:
\[
\begin{cases}
a + b = 5 \\
ab = 4
\end{cases}
\]

Решим систему уравнений. Подставим \(a = 5 — b\) в уравнение \(ab = 4\):
\[
(5 — b)b = 4 \Rightarrow 5b — b^2 = 4 \Rightarrow b^2 — 5b + 4 = 0
\]

Решим квадратное уравнение \(b^2 — 5b + 4 = 0\) с помощью дискриминанта:
\[
D = b^2 — 4ac = (-5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 — 16 = 9
\]
\[
\sqrt{D} = 3
\]

Найдем корни уравнения:
\[
b_1 = \frac{5 + 3}{2} = 4
\]
\[
b_2 = \frac{5 — 3}{2} = 1
\]

Соответствующие значения \(a\):

При \(b = 4\), \(a = 5 — 4 = 1\).

При \(b = 1\), \(a = 5 — 1 = 4\).

Ответ

\(a = 1\), \(b = 4\) или \(a = 4\), \(b = 1\).