ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 782 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Известно, что уравнение \(x^2 + px + q = 0\) имеет корни \(x_1\) и \(x_2\). Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются числа \(\frac{x_1}{x_2}\) и \(\frac{x_2}{x_1}\).

\[
x^2 + px + q = 0
\]

\[
x_1 + x_2 = -p
\]

\[
x_1 \cdot x_2 = q
\]

\[
\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} = \frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1x_2} = \frac{(x_1 + x_2)^2 — 2x_1x_2}{x_1x_2} = \frac{p^2 — 2q}{q}
\]

\[
\frac{x_1}{x_2} \cdot \frac{x_2}{x_1} = 1
\]

Уравнение:

\[
x^2 — \frac{p^2 — 2q}{q}x + 1 = 0
\]

Умножив на \(q\):

\[
qx^2 — (p^2 — 2q)x + q = 0
\]

Дано квадратное уравнение:

\(x^2 + px + q = 0\)

Корни уравнения: \(x_1\) и \(x_2\).

По теореме Виета:

\(x_1 + x_2 = -p\)

\(x_1 \cdot x_2 = q\)

Найдем новое квадратное уравнение, корнями которого являются \(\frac{x_1}{x_2}\) и \(\frac{x_2}{x_1}\).

Шаги решения

Найдем сумму новых корней:

\[
\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} = \frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1x_2}
\]

Используем формулу для суммы квадратов:

\[
x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 — 2x_1x_2
\]

Подставим значения из теоремы Виета:

\[
x_1^2 + x_2^2 = (-p)^2 — 2q = p^2 — 2q
\]

Следовательно, сумма новых корней равна:

\[
\frac{p^2 — 2q}{q}
\]

Найдем произведение новых корней:

\[
\frac{x_1}{x_2} \cdot \frac{x_2}{x_1} = 1
\]

Составим новое квадратное уравнение:

\[
x^2 — \frac{p^2 — 2q}{q}x + 1 = 0
\]

Умножим всё уравнение на \(q\) для избавления от дробей:

\[
qx^2 — (p^2 — 2q)x + q = 0
\]

Таким образом, новое уравнение: \(qx^2 — (p^2 — 2q)x + q = 0\).