Учебник по математике для 8 класса авторов Макарычева и Миндюк является одним из самых популярных пособий в школьной программе. Он сочетает в себе доступное объяснение материала, разнообразные примеры и задания, что делает его незаменимым помощником для учащихся. Давайте рассмотрим основные особенности этого учебника.
Основные особенности учебника
- Структурированность материала
Учебник разделен на логические разделы, которые охватывают все ключевые темы 8 класса. Каждая глава начинается с краткого введения, что помогает учащимся понять, что они будут изучать. - Доступные объяснения
Авторы стараются объяснять сложные концепции простым и понятным языком. Это позволяет учащимся легче усваивать материал и применять его на практике. - Разнообразие задач
В учебнике представлено множество задач разного уровня сложности. Это позволяет учителям адаптировать задания под уровень подготовки класса и индивидуальные потребности учеников. - Практические примеры
Учебник содержит множество примеров из реальной жизни, что помогает учащимся видеть практическое применение математических знаний. Это делает процесс обучения более интересным и увлекательным. - Контрольные работы и тесты
В конце каждой главы предусмотрены контрольные задания, которые позволяют проверить усвоение материала. Это способствует подготовке к контрольным работам и экзаменам.
Заключение
Учебник по математике для 8 класса Макарычева и Миндюк — это качественное пособие, которое сочетает в себе теорию и практику. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе. Благодаря структурированному подходу и разнообразию заданий, этот учебник станет надежным помощником для каждого ученика, стремящегося к успеху в математике.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 782 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Известно, что уравнение \(x^2 + px + q = 0\) имеет корни \(x_1\) и \(x_2\). Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются числа \(\frac{x_1}{x_2}\) и \(\frac{x_2}{x_1}\).
\[
x^2 + px + q = 0
\]
\[
x_1 + x_2 = -p
\]
\[
x_1 \cdot x_2 = q
\]
\[
\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} = \frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1x_2} = \frac{(x_1 + x_2)^2 — 2x_1x_2}{x_1x_2} = \frac{p^2 — 2q}{q}
\]
\[
\frac{x_1}{x_2} \cdot \frac{x_2}{x_1} = 1
\]
Уравнение:
\[
x^2 — \frac{p^2 — 2q}{q}x + 1 = 0
\]
Умножив на \(q\):
\[
qx^2 — (p^2 — 2q)x + q = 0
\]
Дано квадратное уравнение:
\(x^2 + px + q = 0\)
Корни уравнения: \(x_1\) и \(x_2\).
По теореме Виета:
\(x_1 + x_2 = -p\)
\(x_1 \cdot x_2 = q\)
Найдем новое квадратное уравнение, корнями которого являются \(\frac{x_1}{x_2}\) и \(\frac{x_2}{x_1}\).
Шаги решения
Найдем сумму новых корней:
\[
\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} = \frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1x_2}
\]
Используем формулу для суммы квадратов:
\[
x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 — 2x_1x_2
\]
Подставим значения из теоремы Виета:
\[
x_1^2 + x_2^2 = (-p)^2 — 2q = p^2 — 2q
\]
Следовательно, сумма новых корней равна:
\[
\frac{p^2 — 2q}{q}
\]
Найдем произведение новых корней:
\[
\frac{x_1}{x_2} \cdot \frac{x_2}{x_1} = 1
\]
Составим новое квадратное уравнение:
\[
x^2 — \frac{p^2 — 2q}{q}x + 1 = 0
\]
Умножим всё уравнение на \(q\) для избавления от дробей:
\[
qx^2 — (p^2 — 2q)x + q = 0
\]
Таким образом, новое уравнение: \(qx^2 — (p^2 — 2q)x + q = 0\).
Алгебра
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.