ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 780 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Известно, что \(x_1\) и \(x_2\) — корни уравнения \(x^2 — 8x + k = 0\), причём \(3x_1 + 4x_2 = 29\). Найдите \(k\).

\[
\begin{align*}
x^2 — 8x + k &= 0 \\
3x_1 + 4x_2 &= 29 \\
\begin{cases}
3x_1 + 4x_2 = 29 \\
x_1 + x_2 = 8
\end{cases} \\
\begin{cases}
3x_1 + 4x_2 = 29 \\
x_1 = 8 — x_2
\end{cases} \\
24 — 3x_2 + 4x_2 &= 29 \\
x_1 = 8 — x_2 \\
3(8 — x_2) + 4x_2 &= 29 \\
x_1 = 8 — x_2 \\
x_2 = 5 \\
x_1 = 8 — 5 \\
x_1 = 3 \\
k = x_1 x_2 = 5 \cdot 3 = 15 \\
\text{Ответ: } 15.
\end{align*}
\]

Дано квадратное уравнение:

$x^2—8x+k=0$

Известно, что корни этого уравнения \(x_1\) и \(x_2\) также удовлетворяют условию:

$3x$₁ + 4x₂ = 29

Также известно, что сумма корней равна 8, согласно теореме Виета:

$x$₁ + x₂ = 8

Решим систему уравнений:

Выразим \(x_1\) через \(x_2\) из второго уравнения:

Подставим выражение для \(x_1\) в первое уравнение:

Раскроем скобки и упростим:

Упростим уравнение:

Найдем \(x_1\) из выражения \(x_1 = 8 — x_2\):

Теперь найдем \(k\) по формуле произведения корней (теорема Виета):

$k=x$₁x₂ = 3 · 5 = 15

Ответ: 15.