Учебник по математике для 8 класса авторов Макарычева и Миндюк является одним из самых популярных пособий в школьной программе. Он сочетает в себе доступное объяснение материала, разнообразные примеры и задания, что делает его незаменимым помощником для учащихся. Давайте рассмотрим основные особенности этого учебника.
Основные особенности учебника
- Структурированность материала
Учебник разделен на логические разделы, которые охватывают все ключевые темы 8 класса. Каждая глава начинается с краткого введения, что помогает учащимся понять, что они будут изучать. - Доступные объяснения
Авторы стараются объяснять сложные концепции простым и понятным языком. Это позволяет учащимся легче усваивать материал и применять его на практике. - Разнообразие задач
В учебнике представлено множество задач разного уровня сложности. Это позволяет учителям адаптировать задания под уровень подготовки класса и индивидуальные потребности учеников. - Практические примеры
Учебник содержит множество примеров из реальной жизни, что помогает учащимся видеть практическое применение математических знаний. Это делает процесс обучения более интересным и увлекательным. - Контрольные работы и тесты
В конце каждой главы предусмотрены контрольные задания, которые позволяют проверить усвоение материала. Это способствует подготовке к контрольным работам и экзаменам.
Заключение
Учебник по математике для 8 класса Макарычева и Миндюк — это качественное пособие, которое сочетает в себе теорию и практику. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе. Благодаря структурированному подходу и разнообразию заданий, этот учебник станет надежным помощником для каждого ученика, стремящегося к успеху в математике.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 78 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
а)
\[
\frac{b}{a^2} — \frac{1}{a} = \frac{b}{a^2} — \frac{a}{a^2} = \frac{b — a}{a^2}
\]
б)
\[
\frac{1 — x}{x^3} + \frac{1}{x^2} = \frac{1 — x}{x^3} + \frac{x}{x^3} = \frac{1 — x + x}{x^3} = \frac{1}{x^3}
\]
в)
\[
\frac{1}{2a^7} + \frac{4 — 2a^3}{a^{10}} = \frac{a^3}{2a^{10}} + \frac{8 — 4a^3}{2a^{10}} = \frac{a^3 + 8 — 4a^3}{2a^{10}} = \frac{8 — 3a^3}{2a^{10}}
\]
г)
\[
\frac{a + b}{a^2} + \frac{a — b}{ab} = \frac{a^2 + ab}{a^2 b} + \frac{a^2 — ab}{a^2 b} = \frac{b^2 + ab + a^2 — ab}{a^2 b} = \frac{a^2 + b^2}{a^2 b}
\]
д)
\[
\frac{2a — 3b}{a^2 b} — \frac{4a — 5b}{a b^2} = \frac{2ab — 3b^2}{a^2 b^2} — \frac{4a^2 — 5ab}{a^2 b^2} =\]
\[\frac{2ab — 3b^2 — 4a^2 + 5ab}{a^2 b^2} =\]
\[\frac{7ab — 3b^2 — 4a^2}{a^2 b^2}
\]
е)
\[
\frac{x — 2y}{x y^2} — \frac{2y — x}{x^2 y} = \frac{x^2 — 2xy}{x^2 y^2} — \frac{2y^2 — xy}{x^2 y^2} =\]
\[\frac{x^2 — 2xy — (2y^2 — xy)}{x^2 y^2} = \frac{x^2 — 2xy — 2y^2 + xy}{x^2 y^2} =\]
\[\frac{x^2 — xy — 2y^2}{x^2 y^2}
\]
а) \(\frac{b}{a^2} — \frac{1}{a}\)
Приведём к общему знаменателю \(a^2\):
\frac{b}{a^2} — \frac{1}{a} = \frac{b}{a^2} — \frac{a}{a^2}
\]
Выполним вычитание в числителе:
= \frac{b — a}{a^2}
\]
б) \(\frac{1 — x}{x^3} + \frac{1}{x^2}\)
Приведём второе слагаемое к знаменателю \(x^3\), умножив числитель и знаменатель на \(x\):
\frac{1 — x}{x^3} + \frac{1}{x^2} = \frac{1 — x}{x^3} + \frac{x}{x^3}
\]
Сложим числители:
= \frac{1 — x + x}{x^3} = \frac{1}{x^3}
\]
в) \(\frac{1}{2a^7} + \frac{4 — 2a^3}{a^{10}}\)
Приведём первое слагаемое к знаменателю \(2a^{10}\), умножив числитель и знаменатель на \(a^3\):
\frac{1}{2a^7} = \frac{a^3}{2a^{10}}
\]
Приведём второе слагаемое к знаменателю \(2a^{10}\), умножив числитель и знаменатель на 2:
\frac{4 — 2a^3}{a^{10}} = \frac{8 — 4a^3}{2a^{10}}
\]
Сложим числители:
\frac{a^3}{2a^{10}} + \frac{8 — 4a^3}{2a^{10}} = \frac{a^3 + 8 — 4a^3}{2a^{10}} = \frac{8 — 3a^3}{2a^{10}}
\]
г) \(\frac{a + b}{a^2} + \frac{a — b}{ab}\)
Приведём к общему знаменателю \(a^2 b\):
\frac{a + b}{a^2} = \frac{b(a + b)}{a^2 b}, \quad \frac{a — b}{ab} = \frac{a(a — b)}{a^2 b}
\]
Запишем сумму с общим знаменателем:
\frac{b(a + b)}{a^2 b} + \frac{a(a — b)}{a^2 b} = \frac{b(a + b) + a(a — b)}{a^2 b}
\]
Раскроем скобки в числителе:
b a + b^2 + a^2 — a b = a^2 + b^2 + (b a — a b) = a^2 + b^2
\]
Итог:
\frac{a^2 + b^2}{a^2 b}
\]
д) \(\frac{2a — 3b}{a^2 b} — \frac{4a — 5b}{a b^2}\)
Приведём к общему знаменателю \(a^2 b^2\):
\frac{2a — 3b}{a^2 b} = \frac{(2a — 3b) b}{a^2 b^2} = \frac{2ab — 3b^2}{a^2 b^2}
\]
\frac{4a — 5b}{a b^2} = \frac{(4a — 5b) a}{a^2 b^2} = \frac{4a^2 — 5ab}{a^2 b^2}
\]
Выполним вычитание числителей:
(2ab — 3b^2) — (4a^2 — 5ab) = 2ab — 3b^2 — 4a^2 + 5ab =\]
\]
Итог:
\frac{7ab — 3b^2 — 4a^2}{a^2 b^2}
\]
е) \(\frac{x — 2y}{x y^2} — \frac{2y — x}{x^2 y}\)
Приведём дроби к общему знаменателю \(x^2 y^2\):
\frac{x — 2y}{x y^2} = \frac{x(x — 2y)}{x^2 y^2} = \frac{x^2 — 2xy}{x^2 y^2}
\]
\frac{2y — x}{x^2 y} = \frac{y(2y — x)}{x^2 y^2} = \frac{2y^2 — x y}{x^2 y^2}
\]
Выполним вычитание числителей:
(x^2 — 2xy) — (2y^2 — xy) = x^2 — 2xy — 2y^2 + xy = x^2 — xy — 2y^2
\]
Итог:
\frac{x^2 — xy — 2y^2}{x^2 y^2}
\]
Алгебра
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.