ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 776 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Выразите через \(p\) и \(q\) сумму квадратов корней уравнения \(x^2 + px + q = 0\).

\(x^2 + px + q = 0\)

\(x_1 + x_2 = -p\)

\(x_1 \cdot x_2 = q\)

\(x_1^2 + x_2^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2 — 2x_1x_2 =\)

\((x_1 + x_2)^2 — 2x_1x_2 = (-p)^2 — 2q = p^2 — 2q\)

Рассмотрим квадратное уравнение:

\(x^2 + px + q = 0\)

Согласно теореме Виета, сумма корней уравнения равна:

\(x_1 + x_2 = -p\)

Произведение корней уравнения равно:

\(x_1 \cdot x_2 = q\)

Нам нужно найти сумму квадратов корней, то есть \(x_1^2 + x_2^2\).

Используем формулу для суммы квадратов:

\(x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 — 2x_1x_2\)

Подставим известные значения из теоремы Виета:

\((x_1 + x_2)^2 = (-p)^2 = p^2\)

Таким образом, имеем:

\(x_1^2 + x_2^2 = p^2 — 2x_1x_2\)

Подставляем значение произведения корней:

\(x_1^2 + x_2^2 = p^2 — 2q\)

Итак, сумма квадратов корней выражается через \(p\) и \(q\) как:

\(p^2 — 2q\)