ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 766 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что уравнение \(7x^2 + bx — 23 = 0\) при любых значениях \(b\) имеет один положительный и один отрицательный корень.

1. Уравнение: \(7x^2 + bx — 23 = 0\).
2. Разделим на 7: \(x^2 + \frac{b}{7}x — \frac{23}{7} = 0\).
3. Дискриминант: \(D = \frac{b^2}{49} + \frac{92}{7} > 0\), значит, два корня.
4. Произведение корней: \(x_1 \cdot x_2 = -\frac{23}{7}\), корни с разными знаками.

Решение уравнения \(7x^2 + bx — 23 = 0\)

Преобразуем уравнение, разделив все его части на 7:

\(x^2 + \frac{b}{7}x — \frac{23}{7} = 0\)

Нахождение дискриминанта

Формула дискриминанта для квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) имеет вид:

\(D = b^2 — 4ac\)

В нашем случае:

• \(a = 1\)
• \(b = \frac{b}{7}\)
• \(c = -\frac{23}{7}\)

Подставим эти значения в формулу дискриминанта:

\(D = \left(\frac{b}{7}\right)^2 — 4 \cdot 1 \cdot \left(-\frac{23}{7}\right)\)

\(D = \frac{b^2}{49} + \frac{92}{7}\)

Так как \(\frac{92}{7}\) положительно, то \(D > 0\) для любых значений \(b\), что означает наличие двух различных корней.

Произведение корней

Произведение корней квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) определяется как:

\(x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\)

Для данного уравнения:

\(x_1 \cdot x_2 = \frac{-\frac{23}{7}}{1} = -\frac{23}{7}\)

Поскольку произведение корней отрицательное, это означает, что один из корней положительный, а другой отрицательный.