Учебник по математике для 8 класса авторов Макарычева и Миндюк является одним из самых популярных пособий в школьной программе. Он сочетает в себе доступное объяснение материала, разнообразные примеры и задания, что делает его незаменимым помощником для учащихся. Давайте рассмотрим основные особенности этого учебника.
Основные особенности учебника
- Структурированность материала
Учебник разделен на логические разделы, которые охватывают все ключевые темы 8 класса. Каждая глава начинается с краткого введения, что помогает учащимся понять, что они будут изучать. - Доступные объяснения
Авторы стараются объяснять сложные концепции простым и понятным языком. Это позволяет учащимся легче усваивать материал и применять его на практике. - Разнообразие задач
В учебнике представлено множество задач разного уровня сложности. Это позволяет учителям адаптировать задания под уровень подготовки класса и индивидуальные потребности учеников. - Практические примеры
Учебник содержит множество примеров из реальной жизни, что помогает учащимся видеть практическое применение математических знаний. Это делает процесс обучения более интересным и увлекательным. - Контрольные работы и тесты
В конце каждой главы предусмотрены контрольные задания, которые позволяют проверить усвоение материала. Это способствует подготовке к контрольным работам и экзаменам.
Заключение
Учебник по математике для 8 класса Макарычева и Миндюк — это качественное пособие, которое сочетает в себе теорию и практику. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе. Благодаря структурированному подходу и разнообразию заданий, этот учебник станет надежным помощником для каждого ученика, стремящегося к успеху в математике.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 749 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Решите уравнение и выполните проверку:
а) \(x^2 — 2x — 5 = 0\);
б) \(x^2 + 4x + 1 = 0\);
в) \(3y^2 — 4y — 2 = 0\);
г) \(5y^2 — 7y + 1 = 0\);
д) \(2y^2 + 11y + 10 = 0\);
е) \(4x^2 — 9x — 2 = 0\).
a) \(x^2 — 2x — 5 = 0\)
Ответ: \(x_1 = 1 + \sqrt{6}, \quad x_2 = 1 — \sqrt{6}\).
б) \(x^2 + 4x + 1 = 0\)
Ответ: \(x_1 = -2 + \sqrt{3}, \quad x_2 = -2 — \sqrt{3}\).
в) \(3y^2 — 4y — 2 = 0\)
Ответ: \(y_1 = \frac{2 + \sqrt{10}}{3}, \quad y_2 = \frac{2 — \sqrt{10}}{3}\).
г) \(5y^2 — 7y + 1 = 0\)
Ответ: \(y_1 = \frac{7 + \sqrt{29}}{10}, \quad y_2 = \frac{7 — \sqrt{29}}{10}\).
д) \(2y^2 + 11y + 10 = 0\)
Ответ: \(y_1 = \frac{-11 + \sqrt{41}}{4}, \quad y_2 = \frac{-11 — \sqrt{41}}{4}\).
е) \(4x^2 — 9x — 2 = 0\)
Ответ: \(x_1 = \frac{9 + \sqrt{113}}{8}, \quad x_2 = \frac{9 — \sqrt{113}}{8}\).
a) \(x^2 — 2x — 5 = 0\)
1. Найдем дискриминант:
\(D = b^2 — 4ac = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 4 + 20 = 24\)
2. Корни уравнения:
\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{6}}{2}\)
\(x_1 = 1 + \sqrt{6}, \quad x_2 = 1 — \sqrt{6}\)
3. Проверка:
\((1 + \sqrt{6})^2 — 2(1 + \sqrt{6}) — 5 = 1 + 2\sqrt{6} + 6 — 2 — 2\sqrt{6} — 5 = 0\)
\((1 — \sqrt{6})^2 — 2(1 — \sqrt{6}) — 5 = 1 — 2\sqrt{6} + 6 — 2 + 2\sqrt{6} — 5 = 0\)
Ответ: \(x_1 = 1 + \sqrt{6}, \quad x_2 = 1 — \sqrt{6}\).
б) \(x^2 + 4x + 1 = 0\)
1. Найдем дискриминант:
\(D = b^2 — 4ac = 4^2 — 4 \cdot 1 \cdot 1 = 16 — 4 = 12\)
2. Корни уравнения:
\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{3}}{2}\)
\(x_1 = -2 + \sqrt{3}, \quad x_2 = -2 — \sqrt{3}\)
3. Проверка:
\((-2 + \sqrt{3})^2 + 4(-2 + \sqrt{3}) + 1 = 4 — 4\sqrt{3} + 3 — 8 + 4\sqrt{3} + 1 = 0\)
\((-2 — \sqrt{3})^2 + 4(-2 — \sqrt{3}) + 1 = 4 + 4\sqrt{3} + 3 — 8 — 4\sqrt{3} + 1 = 0\)
Ответ: \(x_1 = -2 + \sqrt{3}, \quad x_2 = -2 — \sqrt{3}\).
в) \(3y^2 — 4y — 2 = 0\)
1. Найдем дискриминант:
\(D = b^2 — 4ac = (-4)^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 16 + 24 = 40\)
2. Корни уравнения:
\(y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{40}}{6} = \frac{4 \pm 2\sqrt{10}}{6}\)
\(y_1 = \frac{2 + \sqrt{10}}{3}, \quad y_2 = \frac{2 — \sqrt{10}}{3}\)
3. Проверка:
\(3\left(\frac{2 + \sqrt{10}}{3}\right)^2 — 4\left(\frac{2 + \sqrt{10}}{3}\right) — 2 = 0\)
\(3\left(\frac{2 — \sqrt{10}}{3}\right)^2 — 4\left(\frac{2 — \sqrt{10}}{3}\right) — 2 = 0\)
Ответ: \(y_1 = \frac{2 + \sqrt{10}}{3}, \quad y_2 = \frac{2 — \sqrt{10}}{3}\).
г) \(5y^2 — 7y + 1 = 0\)
1. Найдем дискриминант:
\(D = b^2 — 4ac = (-7)^2 — 4 \cdot 5 \cdot 1 = 49 — 20 = 29\)
2. Корни уравнения:
\(y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 \pm \sqrt{29}}{10}\)
\(y_1 = \frac{7 + \sqrt{29}}{10}, \quad y_2 = \frac{7 — \sqrt{29}}{10}\)
3. Проверка:
\(5\left(\frac{7 + \sqrt{29}}{10}\right)^2 — 7\left(\frac{7 + \sqrt{29}}{10}\right) + 1 = 0\)
\(5\left(\frac{7 — \sqrt{29}}{10}\right)^2 — 7\left(\frac{7 — \sqrt{29}}{10}\right) + 1 = 0\)
Ответ: \(y_1 = \frac{7 + \sqrt{29}}{10}, \quad y_2 = \frac{7 — \sqrt{29}}{10}\).
д) \(2y^2 + 11y + 10 = 0\)
1. Найдем дискриминант:
\(D = b^2 — 4ac = 11^2 — 4 \cdot 2 \cdot 10 = 121 — 80 = 41\)
2. Корни уравнения:
\(y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-11 \pm \sqrt{41}}{4}\)
\(y_1 = \frac{-11 + \sqrt{41}}{4}, \quad y_2 = \frac{-11 — \sqrt{41}}{4}\)
3. Проверка:
\(2\left(\frac{-11 + \sqrt{41}}{4}\right)^2 + 11\left(\frac{-11 + \sqrt{41}}{4}\right) + 10 = 0\)
\(2\left(\frac{-11 — \sqrt{41}}{4}\right)^2 + 11\left(\frac{-11 — \sqrt{41}}{4}\right) + 10 = 0\)
Ответ: \(y_1 = \frac{-11 + \sqrt{41}}{4}, \quad y_2 = \frac{-11 — \sqrt{41}}{4}\).
е) \(4x^2 — 9x — 2 = 0\)
1. Найдем дискриминант:
\(D = b^2 — 4ac = (-9)^2 — 4 \cdot 4 \cdot (-2) = 81 + 32 = 113\)
2. Корни уравнения:
\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 \pm \sqrt{113}}{8}\)
\(x_1 = \frac{9 + \sqrt{113}}{8}, \quad x_2 = \frac{9 — \sqrt{113}}{8}\)
3. Проверка:
\(4\left(\frac{9 + \sqrt{113}}{8}\right)^2 — 9\left(\frac{9 + \sqrt{113}}{8}\right) — 2 = 0\)
\(4\left(\frac{9 — \sqrt{113}}{8}\right)^2 — 9\left(\frac{9 — \sqrt{113}}{8}\right) — 2 = 0\)
Ответ: \(x_1 = \frac{9 + \sqrt{113}}{8}, \quad x_2 = \frac{9 — \sqrt{113}}{8}\).
Алгебра
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.