Учебник по математике для 8 класса авторов Макарычева и Миндюк является одним из самых популярных пособий в школьной программе. Он сочетает в себе доступное объяснение материала, разнообразные примеры и задания, что делает его незаменимым помощником для учащихся. Давайте рассмотрим основные особенности этого учебника.
Основные особенности учебника
- Структурированность материала
Учебник разделен на логические разделы, которые охватывают все ключевые темы 8 класса. Каждая глава начинается с краткого введения, что помогает учащимся понять, что они будут изучать. - Доступные объяснения
Авторы стараются объяснять сложные концепции простым и понятным языком. Это позволяет учащимся легче усваивать материал и применять его на практике. - Разнообразие задач
В учебнике представлено множество задач разного уровня сложности. Это позволяет учителям адаптировать задания под уровень подготовки класса и индивидуальные потребности учеников. - Практические примеры
Учебник содержит множество примеров из реальной жизни, что помогает учащимся видеть практическое применение математических знаний. Это делает процесс обучения более интересным и увлекательным. - Контрольные работы и тесты
В конце каждой главы предусмотрены контрольные задания, которые позволяют проверить усвоение материала. Это способствует подготовке к контрольным работам и экзаменам.
Заключение
Учебник по математике для 8 класса Макарычева и Миндюк — это качественное пособие, которое сочетает в себе теорию и практику. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе. Благодаря структурированному подходу и разнообразию заданий, этот учебник станет надежным помощником для каждого ученика, стремящегося к успеху в математике.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 740 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Решите относительно \( x \) уравнение
\((a — 1)x^2 + 2ax + a + 1 = 0.\)
\((a — 1)x^2 + 2ax + a + 1 = 0\)
Если \(a = 1\), то
\((1 — 1)x^2 + 2 \cdot 1x + 1 + 1 = 0\)
\(0 + 2x + 2 = 0\)
\(2x = -2\)
\(x = -1\)
Если \(a \neq 1\), то
\(D = b^2 — 4ac = (2a)^2 — 4 \cdot (a — 1) \cdot (a + 1) = 4a^2 — 4(a^2 — 1) =\)
\(4a^2 — 4a^2 + 4 = 4\)
\[
x_1 = \frac{-2a + \sqrt{4}}{2 \cdot (a — 1)} = \frac{-2a + 2}{2(a — 1)} = \frac{-2(a — 1)}{2(a — 1)} = -1
\]
\[
x_2 = \frac{-2a — \sqrt{4}}{2 \cdot (a — 1)} = \frac{-2a — 2}{2(a — 1)} = \frac{-2(a + 1)}{2(a — 1)} = \frac{a + 1}{1 — a}
\]
Ответ:
— при \(a = 1\) \(x = -1\);
— при \(a \neq 1\) \(x = -1\), \(x = \frac{a + 1}{1 — a}\).
Дано квадратное уравнение:
(a — 1)x² + 2ax + a + 1 = 0
Случай 1: a = 1
Подставим \(a = 1\) в уравнение:
(1 — 1)x² + 2 · 1x + 1 + 1 = 0
Упростим:
0 + 2x + 2 = 0
Решим относительно \(x\):
2x = -2
x = -1
Случай 2: a ≠ 1
В этом случае уравнение остается:
(a — 1)x² + 2ax + a + 1 = 0
Найдем дискриминант:
D = b² — 4ac
Подставим коэффициенты:
D = (2a)² — 4 · (a — 1) · (a + 1)
Упростим:
D = 4a² — 4(a² — 1)
D = 4a² — 4a² + 4 = 4
Так как дискриминант положительный, уравнение имеет два корня:
Корень 1:
x₁ = (-2a + √D) / (2(a — 1))
Подставим \(D = 4\):
x₁ = (-2a + 2) / (2(a — 1))
Упростим:
x₁ = -1
Корень 2:
x₂ = (-2a — √D) / (2(a — 1))
Подставим \(D = 4\):
x₂ = (-2a — 2) / (2(a — 1))
Упростим:
x₂ = (-2(a + 1)) / (2(a — 1))
x₂ = (a + 1) / (1 — a)
Ответ:
- При \(a = 1\): \(x = -1\)
- При \(a ≠ 1\): \(x₁ = -1\), \(x₂ = \frac{a + 1}{1 — a}\)
Алгебра
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.