Учебник по математике для 8 класса авторов Макарычева и Миндюк является одним из самых популярных пособий в школьной программе. Он сочетает в себе доступное объяснение материала, разнообразные примеры и задания, что делает его незаменимым помощником для учащихся. Давайте рассмотрим основные особенности этого учебника.
Основные особенности учебника
- Структурированность материала
Учебник разделен на логические разделы, которые охватывают все ключевые темы 8 класса. Каждая глава начинается с краткого введения, что помогает учащимся понять, что они будут изучать. - Доступные объяснения
Авторы стараются объяснять сложные концепции простым и понятным языком. Это позволяет учащимся легче усваивать материал и применять его на практике. - Разнообразие задач
В учебнике представлено множество задач разного уровня сложности. Это позволяет учителям адаптировать задания под уровень подготовки класса и индивидуальные потребности учеников. - Практические примеры
Учебник содержит множество примеров из реальной жизни, что помогает учащимся видеть практическое применение математических знаний. Это делает процесс обучения более интересным и увлекательным. - Контрольные работы и тесты
В конце каждой главы предусмотрены контрольные задания, которые позволяют проверить усвоение материала. Это способствует подготовке к контрольным работам и экзаменам.
Заключение
Учебник по математике для 8 класса Макарычева и Миндюк — это качественное пособие, которое сочетает в себе теорию и практику. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе. Благодаря структурированному подходу и разнообразию заданий, этот учебник станет надежным помощником для каждого ученика, стремящегося к успеху в математике.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 715 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
При каких значениях \( k \) парабола \( y = x^2 + 1 \) и прямая \( y = kx \) имеют только одну общую точку?
\[
\begin{aligned}
&\begin{cases}
y = x^2 + 1 \\
y = kx
\end{cases} \\
&x^2 + 1 = kx \\
&x^2 — kx + 1 = 0 \\
&D = b^2 — 4ac = (-k)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 1 = k^2 — 4 = 0 \\
&k^2 — 4 = 0 \\
&(k — 2)(k + 2) = 0 \\
&k = 2 \, \text{или} \, k = -2 \\
\text{Ответ: при } k = -2 \, \text{и} \, k = 2.
\end{aligned}
\]
y = x² + 1
y = kx
Приравняем правые части уравнений:
x² + 1 = kx
Перенесем все в одну сторону:
x² — kx + 1 = 0
Это квадратное уравнение. Чтобы оно имело только один корень, дискриминант должен быть равен нулю:
D = b² — 4ac
Подставим коэффициенты: a = 1, b = -k, c = 1
D = (-k)² — 4 * 1 * 1 = k² — 4
Приравняем дискриминант к нулю:
k² — 4 = 0
Решим это уравнение:
k² = 4
k = ±2
Ответ:
Парабола и прямая имеют одну общую точку при k = -2 и k = 2.
Алгебра
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.