ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 715 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

При каких значениях \( k \) парабола \( y = x^2 + 1 \) и прямая \( y = kx \) имеют только одну общую точку?

Система уравнений:
\[ \begin{cases}
y = x^2 + 1 \\
y = kx
\end{cases} \]

1. Приравниваем правые части уравнений:
\[
x^2 + 1 = kx
\]

2. Переносим все члены в одну сторону:
\[
x^2 — kx + 1 = 0
\]

3. Находим дискриминант \( D \) квадратного уравнения:
\[
D = b^2 — 4ac = (-k)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 1 = k^2 — 4
\]

4. Условие для касания (дискриминант равен нулю):
\[
k^2 — 4 = 0
\]

5. Решаем уравнение:
\[
k^2 = 4
\]

\[
k = 2 \quad \text{или} \quad k = -2
\]

6. Ответ:
\[
\text{Ответ: при } k = -2; k = 2.
\]

y = x² + 1

y = kx

Приравняем правые части уравнений:

x² + 1 = kx

Перенесем все в одну сторону:

x² — kx + 1 = 0

Это квадратное уравнение. Чтобы оно имело только один корень, дискриминант должен быть равен нулю:

D = b² — 4ac

Подставим коэффициенты: a = 1, b = -k, c = 1

D = (-k)² — 4 * 1 * 1 = k² — 4

Приравняем дискриминант к нулю:

k² — 4 = 0

Решим это уравнение:

k² = 4

k = ±2

Ответ:

Парабола и прямая имеют одну общую точку при k = -2 и k = 2.