Учебник по математике для 8 класса авторов Макарычева и Миндюк является одним из самых популярных пособий в школьной программе. Он сочетает в себе доступное объяснение материала, разнообразные примеры и задания, что делает его незаменимым помощником для учащихся. Давайте рассмотрим основные особенности этого учебника.
Основные особенности учебника
- Структурированность материала
Учебник разделен на логические разделы, которые охватывают все ключевые темы 8 класса. Каждая глава начинается с краткого введения, что помогает учащимся понять, что они будут изучать. - Доступные объяснения
Авторы стараются объяснять сложные концепции простым и понятным языком. Это позволяет учащимся легче усваивать материал и применять его на практике. - Разнообразие задач
В учебнике представлено множество задач разного уровня сложности. Это позволяет учителям адаптировать задания под уровень подготовки класса и индивидуальные потребности учеников. - Практические примеры
Учебник содержит множество примеров из реальной жизни, что помогает учащимся видеть практическое применение математических знаний. Это делает процесс обучения более интересным и увлекательным. - Контрольные работы и тесты
В конце каждой главы предусмотрены контрольные задания, которые позволяют проверить усвоение материала. Это способствует подготовке к контрольным работам и экзаменам.
Заключение
Учебник по математике для 8 класса Макарычева и Миндюк — это качественное пособие, которое сочетает в себе теорию и практику. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе. Благодаря структурированному подходу и разнообразию заданий, этот учебник станет надежным помощником для каждого ученика, стремящегося к успеху в математике.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 707 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Решите систему уравнений, используя способ сложения или подстановки:
а)
\[
\begin{cases}
2x^2 + y^2 = 9, \\
x^2 — y^2 = 3;
\end{cases}
\]
б)
\[
\begin{cases}
2x^2 — xy = 33, \\
4x — y = 17;
\end{cases}
\]
в)
\[
\begin{cases}
3x^2 — 2y = 1, \\
2x^2 — y^2 = 1;
\end{cases}
\]
г)
\[
\begin{cases}
x — y — 4 = 0, \\
x^2 + y^2 = 8.5;
\end{cases}
\]
д)
\[
\begin{cases}
x^2 + 4y = 10, \\
x — 2y = -5;
\end{cases}
\]
е)
\[
\begin{cases}
x — 2y + 1 = 0, \\
5xy + y^2 = 16.
\end{cases}
\]
а) (2; 1), (2; -1), (-2; 1), (-2; -1).
б) (5.5; 5), (3; -5).
в) (-1; 1), (1; 1), (√5/3; 1/3), (-√5/3; 1/3).
г) (2.5; -1.5), (1.5; -2.5).
д) (0; 2.5), (-2; 1.5).
е) (1 10/1; 5/11), (-3; -1).
а)
Система уравнений:
2x² + y² = 9
x² — y² = 3
Решение:
1. Из второго уравнения выразим y² = x² — 3.
2. Подставим в первое уравнение: 2x² + (x² — 3) = 9.
3. Упростим: 3x² — 3 = 9. Отсюда x² = 4.
4. Найдём x = ±2.
5. Подставляем x = 2: y² = 4 — 3 = 1, отсюда y = ±1.
6. Подставляем x = -2: y² = 4 — 3 = 1, отсюда y = ±1.
Ответ: (2; 1), (2; -1), (-2; 1), (-2; -1).
б)
Система уравнений:
2x² — xy = 33
4x — y = 17
Решение:
1. Из второго уравнения выразим y = 4x — 17.
2. Подставим в первое уравнение: 2x² — x(4x — 17) = 33.
3. Упростим: 2x² — 4x² + 17x — 33 = 0, или -2x² + 17x — 33 = 0.
4. Умножим на -1: 2x² — 17x + 33 = 0.
5. Решим квадратное уравнение: D = 17² — 4·2·33 = 25, √D = 5.
6. Корни: x₁ = 5.5, x₂ = 3.
7. Подставим x₁ = 5.5: y = 4·5.5 — 17 = 5.
8. Подставим x₂ = 3: y = 4·3 — 17 = -5.
Ответ: (5.5; 5), (3; -5).
в)
Система уравнений:
3x² — 2y = 1
2x² — y² = 1
Решение:
1. Из первого уравнения выразим y = 1.5x² — 0.5.
2. Подставим во второе уравнение: 2x² — (1.5x² — 0.5)² = 1.
3. Упростим: 2x² — (2.25x⁴ — 1.5x² + 0.25) = 1.
4. Приведём подобные: -2.25x⁴ + 3.5x² — 1.25 = 0.
5. Пусть z = x²: -2.25z² + 3.5z — 1.25 = 0.
6. Решим квадратное уравнение: D = 16, z₁ = 5/9, z₂ = 1.
7. Найдём x и y для каждого случая.
Ответ: (-1; 1), (1; 1), (√5/3; 1/3), (-√5/3; 1/3).
г)
Система уравнений:
x — y — 4 = 0
x² + y² = 8.5
Решение:
1. Из первого уравнения выразим x = y + 4.
2. Подставим во второе уравнение: (y + 4)² + y² = 8.5.
3. Упростим: 2y² + 8y + 16 = 8.5.
4. Приведём подобные: 2y² + 8y + 7.5 = 0, или 4y² + 16y + 15 = 0.
5. Решим квадратное уравнение: D = 16, y₁ = -1.5, y₂ = -2.5.
6. Найдём x для каждого y.
Ответ: (2.5; -1.5), (1.5; -2.5).
д)
Система уравнений:
x² + 4y = 10
x — 2y = -5
Решение:
1. Из второго уравнения выразим x = 2y — 5.
2. Подставим в первое уравнение: (2y — 5)² + 4y = 10.
3. Упростим: 4y² — 20y + 25 + 4y — 10 = 0.
4. Приведём подобные: 4y² — 16y + 15 = 0.
5. Решим квадратное уравнение: D = 16, y₁ = 2.5, y₂ = 1.5.
6. Найдём x для каждого y.
Ответ: (0; 2.5), (-2; 1.5).
е)
Система уравнений:
x — 2y + 1 = 0
5xy + y² = 16
Решение:
1. Из первого уравнения выразим x = 2y — 1.
2. Подставим во второе уравнение: 5(2y — 1)y + y² = 16.
3. Упростим: 10y² — 5y + y² — 16 = 0.
4. Приведём подобные: 11y² — 5y — 16 = 0.
5. Решим квадратное уравнение: D = 729, y₁ = 5/11, y₂ = -1.
6. Найдём x для каждого y.
Ответ: (1 10/1; 5/11), (-3; -1).
Алгебра
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.