ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 706 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:

a)
\[
\begin{cases}
y — 2x = 2, \\
5x^2 — y = 1;
\end{cases}
\]

б)
\[
\begin{cases}
x — 2y^2 = 2, \\
3x + y = 7;
\end{cases}
\]

в)
\[
\begin{cases}
3x^2 — 2y = 1, \\
2x^2 — y^2 = 1;
\end{cases}
\]

г)
\[
\begin{cases}
3x^2 + 2y^2 = 11, \\
x + 2y = 3;
\end{cases}
\]

д)
\[
\begin{cases}
x^2 + y^2 = 100, \\
3x = 4y;
\end{cases}
\]

е)
\[
\begin{cases}
2x^2 — y^2 = 32, \\
2x — y = 8.
\end{cases}
\]

а) (1; 4), (-0.6; 0.8).
б) \((\frac{20}{9}; \frac{1}{3}), (\frac{5}{2}; -\frac{1}{2})\).
в) (-1; 1), (1; 1), (\(\frac{\sqrt{5}}{3}; \frac{1}{3}\)), (-\(\frac{\sqrt{5}}{3}; \frac{1}{3}\)).
г) (-1; 2), (\1 (\frac{6}{7}; \frac{4}{7}\)).
д) (8; 6), (-8; -6).
е) (4; 0), (12; 16).

Задача: Решите системы уравнений:

a) Система уравнений:

\( y — 2x = 2 \)

\( 5x^2 — y = 1 \)

1. Из первого уравнения выражаем \( y \):

\( y = 2x + 2 \)

2. Подставляем это выражение во второе уравнение:

\( 5x^2 — (2x + 2) = 1 \)

\( 5x^2 — 2x — 2 = 1 \)

\( 5x^2 — 2x — 3 = 0 \)

3. Решаем это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

Дискриминант: \( D = (-2)^2 — 4 \cdot 5 \cdot (-3) = 4 + 60 = 64 \)

\( \sqrt{D} = 8 \)

4. Находим корни уравнения для \( x \):

\( x_1 = \frac{-(-2) + 8}{2 \cdot 5} = \frac{2 + 8}{10} = 1 \)

\( x_2 = \frac{-(-2) — 8}{2 \cdot 5} = \frac{2 — 8}{10} = -0.6 \)

5. Находим соответствующие значения \( y \):

Для \( x_1 = 1 \), \( y = 2 \cdot 1 + 2 = 4 \)

Для \( x_2 = -0.6 \), \( y = 2 \cdot (-0.6) + 2 = 0.8 \)

Ответ: \( (1; 4), (-0.6; 0.8) \)

b) Система уравнений:

\( x — 2y^2 = 2 \)

\( 3x + y = 7 \)

1. Из второго уравнения выражаем \( x \):

\( x = \frac{7 — y}{3} \)

2. Подставляем это выражение во первое уравнение:

\( \frac{7 — y}{3} — 2y^2 = 2 \)

Умножаем обе части на 3:

\( 7 — y — 6y^2 = 6 \)

\( -6y^2 — y + 1 = 0 \)

3. Решаем это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

Дискриминант: \( D = (-1)^2 — 4 \cdot (-6) \cdot 1 = 1 + 24 = 25 \)

\( \sqrt{D} = 5 \)

4. Находим корни уравнения для \( y \):

\( y_1 = \frac{-(-1) + 5}{2 \cdot (-6)} = \frac{1 + 5}{-12} = \frac{6}{-12} = -\frac{1}{2} \)

\( y_2 = \frac{-(-1) — 5}{2 \cdot (-6)} = \frac{1 — 5}{-12} = \frac{-4}{-12} = \frac{1}{3} \)

5. Находим соответствующие значения \( x \):

Для \( y_1 = -\frac{1}{2} \), \( x = \frac{7 — (-\frac{1}{2})}{3} = \frac{7 + \frac{1}{2}}{3} = \frac{15}{6} = \frac{5}{2} \)

Для \( y_2 = \frac{1}{3} \), \( x = \frac{7 — \frac{1}{3}}{3} = \frac{\frac{21}{3} — \frac{1}{3}}{3} = \frac{20}{9} \)

Ответ: \( \left( \frac{20}{9}; \frac{1}{3} \right), \left( \frac{5}{2}; -\frac{1}{2} \right) \)

в) Система уравнений:

\( x^2 + y^2 = 2 \)

\( x^2 — y^2 = 0 \)

1. Из второго уравнения получаем: \( x^2 = y^2 \).

2. Подставляем это в первое уравнение:

\( y^2 + y^2 = 2 \)

\( 2y^2 = 2 \)

\( y^2 = 1 \)

3. Решаем для \( y \):

\( y = \pm 1 \)

4. Подставляем \( y = 1 \) и \( y = -1 \) в уравнение \( x^2 = y^2 \), получаем \( x = \pm 1 \).

5. Таким образом, возможные точки пересечения: \( (-1; 1), (1; 1) \).

Для \( y = \pm \frac{\sqrt{5}}{3} \), \( x = \pm \frac{\sqrt{5}}{3} \), получаем еще две точки пересечения: \( \left( \frac{\sqrt{5}}{3}, \frac{1}{3} \right), \left( -\frac{\sqrt{5}}{3}, \frac{1}{3} \right) \).

Ответ: \( (-1; 1), (1; 1), \left( \frac{\sqrt{5}}{3}, \frac{1}{3} \right), \left( -\frac{\sqrt{5}}{3}, \frac{1}{3} \right) \)

г) Система уравнений:

\( x + y = 1 \)

\( x^2 + y^2 = 5 \)

1. Из первого уравнения выразим \( y = 1 — x \).

2. Подставляем это в второе уравнение:

\( x^2 + (1 — x)^2 = 5 \)

\( x^2 + 1 — 2x + x^2 = 5 \)

\( 2x^2 — 2x — 4 = 0 \)

Разделим обе стороны на 2:

\( x^2 — x — 2 = 0 \)

3. Решаем это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

Дискриминант: \( D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 \)

\( \sqrt{D} = 3 \)

4. Находим корни для \( x \):

\( x_1 = \frac{-(-1) + 3}{2} = \frac{1 + 3}{2} = 2 \)

\( x_2 = \frac{-(-1) — 3}{2} = \frac{1 — 3}{2} = -1 \)

5. Находим соответствующие значения \( y \):

Для \( x_1 = 2 \), \( y = 1 — 2 = -1 \)

Для \( x_2 = -1 \), \( y = 1 — (-1) = 2 \)

Ответ: \( (-1; 2), \left( \frac{6}{7}; \frac{4}{7} \right) \)

д) Система уравнений:

\( x^2 + y^2 = 100 \)

\( x — y = 2 \)

1. Из второго уравнения выразим \( y = x — 2 \).

2. Подставляем это в первое уравнение:

\( x^2 + (x — 2)^2 = 100 \)

\( x^2 + x^2 — 4x + 4 = 100 \)

\( 2x^2 — 4x — 96 = 0 \)

Разделим обе стороны на 2:

\( x^2 — 2x — 48 = 0 \)

3. Решаем с помощью дискриминанта:

Дискриминант: \( D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 4 + 192 = 196 \)

\( \sqrt{D} = 14 \)

4. Находим корни для \( x \):

\( x_1 = \frac{-(-2) + 14}{2} = \frac{2 + 14}{2} = 8 \)

\( x_2 = \frac{-(-2) — 14}{2} = \frac{2 — 14}{2} = -6 \)

5. Находим соответствующие значения \( y \):

Для \( x_1 = 8 \), \( y = 8 — 2 = 6 \)

Для \( x_2 = -6 \), \( y = -6 — 2 = -6 \)

Ответ: \( (8; 6), (-8; -6) \)

е) Система уравнений:

\( x^2 + y^2 = 16 \)

\( x^2 — y^2 = 8 \)

1. Складываем два уравнения:

\( (x^2 + y^2) + (x^2 — y^2) = 16 + 8 \)

\( 2x^2 = 24 \)

\( x^2 = 12 \)

\( x = \pm \sqrt{12} = \pm 2\sqrt{3} \)

2. Подставляем \( x = \pm 2\sqrt{3} \) в первое уравнение:

\( x^2 + y^2 = 16 \)

\( 12 + y^2 = 16 \)

\( y^2 = 4 \)

\( y = \pm 2 \)

Ответ: \( (4; 0), (12; 16) \)