ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 691 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Задача

Используя графики уравнений, изображённые на рисунке 30, объясните графический смысл равносильности систем уравнений:
\[
\begin{cases}
2x — y = 5, \\
x + y = 1
\end{cases}
\]
и
\[
\begin{cases}
(2x — y) + (x + y) = 5 + 1, \\
x + y = 1.
\end{cases}
\]

Краткий ответ:

\[
\begin{cases}
2x — y = 5, \\
x + y = 1
\end{cases}
\]
\[
\begin{cases}
y = 2x — 5, \\
y = -x + 1
\end{cases}
\]
\[
x = 2, \, y = -2 + 1, \, y = -1
\]
Прямые пересекаются в точке \((2; -1)\).

\[
\begin{cases}
(2x — y) + (x + y) = 5 + 1, \\
x + y = 1
\end{cases}
\]
\[
\begin{cases}
3x = 6, \\
x = 2, \, y = 1 — x, \, y = 1 — 2, \, y = -1
\end{cases}
\]
Прямые пересекаются в точке \((2; -1)\).

Подробный ответ:

Дана система уравнений:

1. \( 2x — y = 5 \)

2. \( x + y = 1 \)

Шаг 1: Выразим \( y \) из второго уравнения

\( x + y = 1 \)

\( y = 1 — x \)

Шаг 2: Подставим \( y = 1 — x \) в первое уравнение

\( 2x — (1 — x) = 5 \)

\( 2x — 1 + x = 5 \)

\( 3x — 1 = 5 \)

\( 3x = 6 \)

\( x = 2 \)

Шаг 3: Найдем \( y \), подставив \( x = 2 \) в уравнение \( y = 1 — x \)

\( y = 1 — 2 \)

\( y = -1 \)

Ответ:

Решение системы: \( x = 2, y = -1 \). Прямые пересекаются в точке \( (2; -1) \).

Проверим равносильность модифицированной системы:

Модифицированная система:

1. \( (2x — y) + (x + y) = 5 + 1 \)

2. \( x + y = 1 \)

Шаг 1: Упростим первое уравнение

\( 2x — y + x + y = 6 \)

\( 3x = 6 \)

\( x = 2 \)

Шаг 2: Найдем \( y \), подставив \( x = 2 \) во второе уравнение

\( x + y = 1 \)

\( 2 + y = 1 \)

\( y = -1 \)

Вывод:

Модифицированная система также имеет решение \( x = 2, y = -1 \). Прямые пересекаются в той же точке \( (2; -1) \).

Оцени решение