Учебник по математике для 8 класса авторов Макарычева и Миндюк является одним из самых популярных пособий в школьной программе. Он сочетает в себе доступное объяснение материала, разнообразные примеры и задания, что делает его незаменимым помощником для учащихся. Давайте рассмотрим основные особенности этого учебника.
Основные особенности учебника
- Структурированность материала
Учебник разделен на логические разделы, которые охватывают все ключевые темы 8 класса. Каждая глава начинается с краткого введения, что помогает учащимся понять, что они будут изучать. - Доступные объяснения
Авторы стараются объяснять сложные концепции простым и понятным языком. Это позволяет учащимся легче усваивать материал и применять его на практике. - Разнообразие задач
В учебнике представлено множество задач разного уровня сложности. Это позволяет учителям адаптировать задания под уровень подготовки класса и индивидуальные потребности учеников. - Практические примеры
Учебник содержит множество примеров из реальной жизни, что помогает учащимся видеть практическое применение математических знаний. Это делает процесс обучения более интересным и увлекательным. - Контрольные работы и тесты
В конце каждой главы предусмотрены контрольные задания, которые позволяют проверить усвоение материала. Это способствует подготовке к контрольным работам и экзаменам.
Заключение
Учебник по математике для 8 класса Макарычева и Миндюк — это качественное пособие, которое сочетает в себе теорию и практику. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе. Благодаря структурированному подходу и разнообразию заданий, этот учебник станет надежным помощником для каждого ученика, стремящегося к успеху в математике.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 65 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Докажите, что при всех допустимых значениях \(x\) значение выражения не зависит от \(x\):
a) \(\frac{3x + 5}{2x — 1} + \frac{7x + 3}{1 — 2x}\);
б) \(\frac{5x + 1}{5x — 20} + \frac{x + 17}{20 — 5x}\).
а)
\[
\frac{3x+5}{2x-1} + \frac{7x+3}{1-2x} = \frac{3x+5}{2x-1} — \frac{7x+3}{2x-1} =\]
\[\frac{3x+5 — (7x+3)}{2x-1} = \frac{3x+5 — 7x — 3}{2x-1} = \frac{-4x + 2}{2x-1}
\]
\[
= \frac{-2(2x — 1)}{2x-1} = -2
\]
б)
\[
\frac{5x+1}{5x-20} + \frac{x+17}{20 — 5x} = \frac{5x+1}{5x-20} — \frac{x+17}{5x-20} = \frac{5x+1 — (x+17)}{5x-20} =\]
\[\frac{5x + 1 — x — 17}{5x-20} = \frac{4x — 16}{5x — 20}
\]
\[
= \frac{4(x — 4)}{5(x — 4)} = \frac{4}{5} = 0{,}8
\]
а) Докажите, что выражение не зависит от \(x\):
Исходное выражение:
\[
\frac{3x+5}{2x-1} + \frac{7x+3}{1-2x}
\]
Шаг 1: Приведём второй дробь к виду с знаменателем \(2x-1\)
Заметим, что \(1 — 2x = -(2x — 1)\), значит:
\[
\frac{7x+3}{1-2x} = \frac{7x+3}{-(2x-1)} = -\frac{7x+3}{2x-1}
\]
Шаг 2: Запишем исходное выражение с общим знаменателем:
\[
\frac{3x+5}{2x-1} + \frac{7x+3}{1-2x} = \frac{3x+5}{2x-1} — \frac{7x+3}{2x-1} = \frac{3x+5 — (7x+3)}{2x-1}
\]
Шаг 3: Упростим числитель:
\[
3x + 5 — 7x — 3 = (3x — 7x) + (5 — 3) = -4x + 2
\]
Шаг 4: Подставляем обратно в дробь:
\[
\frac{-4x + 2}{2x — 1}
\]
Шаг 5: Вынесем множитель -2 из числителя:
\[
\frac{-4x + 2}{2x — 1} = \frac{-2(2x — 1)}{2x — 1}
\]
Шаг 6: Сократим на \(2x — 1\) (при условии, что \(2x — 1 \neq 0\)):
\[
= -2
\]
Вывод: Значение выражения не зависит от \(x\) и равно \(-2\).
б) Докажите, что выражение не зависит от \(x\):
Исходное выражение:
\[
\frac{5x+1}{5x-20} + \frac{x+17}{20 — 5x}
\]
Шаг 1: Приведём второй дробь к виду с знаменателем \(5x-20\)
Заметим, что \(20 — 5x = -(5x — 20)\), значит:
\[
\frac{x+17}{20 — 5x} = \frac{x+17}{-(5x — 20)} = -\frac{x+17}{5x — 20}
\]
Шаг 2: Запишем исходное выражение с общим знаменателем:
\[
\frac{5x+1}{5x-20} + \frac{x+17}{20 — 5x} = \frac{5x+1}{5x-20} — \frac{x+17}{5x-20} = \frac{5x+1 — (x+17)}{5x-20}
\]
Шаг 3: Упростим числитель:
\[
5x + 1 — x — 17 = (5x — x) + (1 — 17) = 4x — 16
\]
Шаг 4: Подставляем обратно в дробь:
\[
\frac{4x — 16}{5x — 20}
\]
Шаг 5: Вынесем общий множитель из числителя и знаменателя:
\[
\frac{4(x — 4)}{5(x — 4)}
\]
Шаг 6: Сократим на \(x — 4\) (при условии, что \(x \neq 4\)):
\[
= \frac{4}{5} = 0{,}8
\]
Вывод: Значение выражения не зависит от \(x\) и равно \(\frac{4}{5}\) или \(0{,}8\).
Алгебра
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.