Учебник по математике для 8 класса авторов Макарычева и Миндюк является одним из самых популярных пособий в школьной программе. Он сочетает в себе доступное объяснение материала, разнообразные примеры и задания, что делает его незаменимым помощником для учащихся. Давайте рассмотрим основные особенности этого учебника.
Основные особенности учебника
- Структурированность материала
Учебник разделен на логические разделы, которые охватывают все ключевые темы 8 класса. Каждая глава начинается с краткого введения, что помогает учащимся понять, что они будут изучать. - Доступные объяснения
Авторы стараются объяснять сложные концепции простым и понятным языком. Это позволяет учащимся легче усваивать материал и применять его на практике. - Разнообразие задач
В учебнике представлено множество задач разного уровня сложности. Это позволяет учителям адаптировать задания под уровень подготовки класса и индивидуальные потребности учеников. - Практические примеры
Учебник содержит множество примеров из реальной жизни, что помогает учащимся видеть практическое применение математических знаний. Это делает процесс обучения более интересным и увлекательным. - Контрольные работы и тесты
В конце каждой главы предусмотрены контрольные задания, которые позволяют проверить усвоение материала. Это способствует подготовке к контрольным работам и экзаменам.
Заключение
Учебник по математике для 8 класса Макарычева и Миндюк — это качественное пособие, которое сочетает в себе теорию и практику. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе. Благодаря структурированному подходу и разнообразию заданий, этот учебник станет надежным помощником для каждого ученика, стремящегося к успеху в математике.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 64 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Выполните действие:
а)
\[
\frac{10p}{p-q} + \frac{3p}{q-p};
\]
б)
\[
\frac{5a}{a-b} + \frac{5b}{b-a};
\]
в)
\[
\frac{x-3}{x-1} — \frac{2}{1-x};
\]
г)
\[
\frac{a}{2a-b} + \frac{3a — b}{b — 2a};
\]
д)
\[
\frac{a}{a^2 — 9} + \frac{3}{9 — a^2};
\]
е)
\[
\frac{y^2}{y-1} + \frac{1}{1-y}.
\]
а)
\[
\frac{10p}{p-q} + \frac{3p}{q-p} = \frac{10p}{p-q} — \frac{3p}{p-q} = \frac{10p — 3p}{p-q} = \frac{7p}{p-q}
\]
б)
\[
\frac{5a}{a-b} + \frac{5b}{b-a} = \frac{5a}{a-b} — \frac{5b}{a-b} = \frac{5a — 5b}{a-b} = \frac{5(a-b)}{a-b} = 5
\]
в)
\[
\frac{x-3}{x-1} — \frac{2}{1-x} = \frac{x-3}{x-1} + \frac{2}{x-1} = \frac{x-3+2}{x-1} = \frac{x-1}{x-1} = 1
\]
г)
\[
\frac{a}{2a-b} + \frac{3a — b}{b — 2a} = \frac{a}{2a-b} — \frac{3a — b}{2a-b} = \frac{a — (3a — b)}{2a-b} =\]
\[\frac{a — 3a + b}{2a-b} = \frac{-2a + b}{2a-b} = — \frac{2a — b}{2a — b} = -1
\]
д)
\[
\frac{a}{a^2 — 9} + \frac{3}{9 — a^2} = \frac{a}{a^2 — 9} — \frac{3}{a^2 — 9} =\]
\[\frac{a — 3}{a^2 — 9} = \frac{a — 3}{(a-3)(a+3)} = \frac{1}{a+3}
\]
е)
\[
\frac{y^2}{y-1} + \frac{1}{1-y} = \frac{y^2}{y-1} — \frac{1}{y-1} = \frac{y^2 — 1}{y-1} = \frac{(y-1)(y+1)}{y-1} = y + 1
\]
а) \(\frac{10p}{p-q} + \frac{3p}{q-p}\)
Обратим внимание, что \(q-p = -(p-q)\), поэтому:
\(\frac{3p}{q-p} = \frac{3p}{-(p-q)} = -\frac{3p}{p-q}\)
Теперь сложим дроби с одинаковым знаменателем:
\(\frac{10p}{p-q} + \left(-\frac{3p}{p-q}\right) = \frac{10p — 3p}{p-q} = \frac{7p}{p-q}\)
Ответ: \(\frac{7p}{p-q}\)
Поскольку \(b-a = -(a-b)\), имеем:
\(\frac{5b}{b-a} = -\frac{5b}{a-b}\)
Сложим дроби с общим знаменателем:
\(\frac{5a}{a-b} + \left(-\frac{5b}{a-b}\right) = \frac{5a — 5b}{a-b} = \frac{5(a-b)}{a-b}\)
Сокращаем числитель и знаменатель:
\(= 5\)
Ответ: \(5\)
Обратим знак знаменателя во второй дроби:
\(\frac{2}{1-x} = -\frac{2}{x-1}\)
Перепишем выражение:
\(\frac{x-3}{x-1} — \left(-\frac{2}{x-1}\right) = \frac{x-3}{x-1} + \frac{2}{x-1}\)
Сложим дроби с общим знаменателем:
\(\frac{x-3 + 2}{x-1} = \frac{x-1}{x-1} = 1\)
Ответ: \(1\)
Поскольку \(b — 2a = -(2a — b)\), перепишем вторую дробь:
\(\frac{3a — b}{b — 2a} = -\frac{3a — b}{2a — b}\)
Теперь сложим дроби с общим знаменателем:
\(\frac{a}{2a — b} — \frac{3a — b}{2a — b} = \frac{a — (3a — b)}{2a — b} = \frac{a — 3a + b}{2a — b} = \frac{-2a + b}{2a — b}\)
Выносим минус из числителя:
\(\frac{-2a + b}{2a — b} = -\frac{2a — b}{2a — b} = -1\)
Ответ: \(-1\)
Заметим, что \(9 — a^2 = -(a^2 — 9)\), значит:
\(\frac{3}{9 — a^2} = -\frac{3}{a^2 — 9}\)
Сложим дроби с общим знаменателем:
\(\frac{a}{a^2 — 9} — \frac{3}{a^2 — 9} = \frac{a — 3}{a^2 — 9}\)
Разложим знаменатель на множители:
\((a^2 — 9) = (a — 3)(a + 3)\)
Тогда:
\(\frac{a — 3}{(a — 3)(a + 3)} = \frac{1}{a + 3}\)
Ответ: \(\frac{1}{a + 3}\)
Так как \(1 — y = -(y — 1)\), перепишем вторую дробь:
\(\frac{1}{1-y} = -\frac{1}{y-1}\)
Сложим дроби с общим знаменателем:
\(\frac{y^2}{y-1} — \frac{1}{y-1} = \frac{y^2 — 1}{y-1}\)
Разложим числитель по формуле разности квадратов:
\((y^2 — 1) = (y — 1)(y + 1)\)
Тогда:
\(\frac{(y — 1)(y + 1)}{y — 1} = y + 1\)
Ответ: \(y + 1\)
Алгебра
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.