Учебник по математике для 8 класса авторов Макарычева и Миндюк является одним из самых популярных пособий в школьной программе. Он сочетает в себе доступное объяснение материала, разнообразные примеры и задания, что делает его незаменимым помощником для учащихся. Давайте рассмотрим основные особенности этого учебника.
Основные особенности учебника
- Структурированность материала
Учебник разделен на логические разделы, которые охватывают все ключевые темы 8 класса. Каждая глава начинается с краткого введения, что помогает учащимся понять, что они будут изучать. - Доступные объяснения
Авторы стараются объяснять сложные концепции простым и понятным языком. Это позволяет учащимся легче усваивать материал и применять его на практике. - Разнообразие задач
В учебнике представлено множество задач разного уровня сложности. Это позволяет учителям адаптировать задания под уровень подготовки класса и индивидуальные потребности учеников. - Практические примеры
Учебник содержит множество примеров из реальной жизни, что помогает учащимся видеть практическое применение математических знаний. Это делает процесс обучения более интересным и увлекательным. - Контрольные работы и тесты
В конце каждой главы предусмотрены контрольные задания, которые позволяют проверить усвоение материала. Это способствует подготовке к контрольным работам и экзаменам.
Заключение
Учебник по математике для 8 класса Макарычева и Миндюк — это качественное пособие, которое сочетает в себе теорию и практику. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе. Благодаря структурированному подходу и разнообразию заданий, этот учебник станет надежным помощником для каждого ученика, стремящегося к успеху в математике.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 634 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Решите уравнение:
a)
\[
\frac{3x + 1}{x + 2} — \frac{x — 1}{x — 2} = 1;
\]
б)
\[
\frac{2y — 2}{y + 3} + \frac{y + 3}{y — 3} = 5;
\]
в)
\[
\frac{4}{9y^2 — 1} — \frac{4}{3y + 1} = \frac{5}{1 — 3y};
\]
г)
\[
\frac{4}{x + 3} — \frac{5}{3 — x} = \frac{1}{x — 3} — 1;
\]
д)
\[
\frac{3}{x} + \frac{4}{x — 1} = \frac{5 — x}{x^2 — x};
\]
е)
\[
\frac{3y — 2}{y} — \frac{1}{y — 2} = \frac{3y + 4}{y^2 — 2y}.
\]
а) \(3 + \sqrt{5}; 3 — \sqrt{5}\)
б) \(-6; 5\)
в) \(-4 \frac{1}{3}\)
г) \(1; -9\)
д) Нет корней
е) \(4\)
а)
Уравнение:
\(\frac{3x + 1}{x + 2} — \frac{x — 1}{x — 2} = 1\)
Ограничения: \(x \neq -2, x \neq 2\).
Приведем к общему знаменателю:
\((3x + 1)(x — 2) — (x — 1)(x + 2) = (x + 2)(x — 2)\)
Раскроем скобки:
\(3x^2 — 6x + x — 2 — x^2 — x — 2x — 2 = x^2 — 4\)
Упростим:
\(3x^2 — 5x — 2 — x^2 — x + 2 — x^2 + 4 = 0\)
\(x^2 — 6x + 4 = 0\)
Решим квадратное уравнение:
\(D = b^2 — 4ac = (-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 4 = 36 — 16 = 20 > 0\)
\(\sqrt{D} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\)
\(x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 + 2\sqrt{5}}{2} = 3 + \sqrt{5}\)
\(x_2 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 — 2\sqrt{5}}{2} = 3 — \sqrt{5}\)
Ответ: \(3 + \sqrt{5}; 3 — \sqrt{5}\).
б)
Уравнение:
\(\frac{2y — 2}{y + 3} + \frac{y + 3}{y — 3} = 5\)
Ограничения: \(y \neq 3, y \neq -3\).
Приведем к общему знаменателю:
\((2y — 2)(y — 3) + (y + 3)(y + 3) = 5(y + 3)(y — 3)\)
Раскроем скобки:
\(2y^2 — 6y — 2y + 6 + y^2 + 6y + 9 = 5(y^2 — 9)\)
Упростим:
\(2y^2 — 8y + 6 + y^2 + 6y + 9 — 5y^2 + 45 = 0\)
\(-2y^2 — 2y + 60 = 0\)
Решим квадратное уравнение:
\(D = b^2 — 4ac = (-2)^2 — 4 \cdot (-2) \cdot 60 = 4 + 480 = 484 > 0\)
\(\sqrt{D} = 22\)
\(y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + 22}{-4} = -6\)
\(y_2 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 — 22}{-4} = 5\)
Ответ: \(-6; 5\).
в)
Уравнение:
\(\frac{4}{9y^2 — 1} — \frac{4}{3y + 1} = \frac{5}{1 — 3y}\)
Ограничения: \(y \neq 3, y \neq -\frac{1}{3}\).
Приведем к общему знаменателю и раскроем скобки:
\(4 — 4(3y — 1) = -5(3y + 1)\)
\(4 — 12y + 4 + 15y + 5 = 0\)
\(3y = -13\)
\(y = -\frac{13}{3} = -4\frac{1}{3}\)
Ответ: \(-4\frac{1}{3}\).
г)
Уравнение:
\(\frac{4}{x + 3} — \frac{5}{3 — x} = \frac{1}{x — 3} — 1\)
Ограничения: \(x \neq 3, x \neq -3\).
Приведем к общему знаменателю:
\(4(x — 3) + 5(x + 3) = x + 3 — (x — 3)(x + 3)\)
\(4x — 12 + 5x + 15 = x + 3 — (x^2 — 9)\)
\(x^2 + 8x — 9 = 0\)
Решим квадратное уравнение:
\(D = b^2 — 4ac = 8^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100 > 0\)
\(\sqrt{D} = 10\)
\(x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 + 10}{2} = 1\)
\(x_2 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 — 10}{2} = -9\)
Ответ: \(1; -9\).
д)
Уравнение:
\(\frac{3}{x} + \frac{4}{x — 1} = \frac{5 — x}{x^2 — x}\)
Ограничения: \(x \neq 0, x \neq 1\).
Приведем к общему знаменателю:
\(3(x — 1) + 4x = 5 — x\)
\(3x — 3 + 4x — 5 + x = 0\)
\(8x — 8 = 0\)
\(x = 1\) — не подходит по ограничению.
Ответ: нет корней.
е)
Уравнение:
\(\frac{3y — 2}{y} — \frac{1}{y — 2} = \frac{3y + 4}{y^2 — 2y}\)
Ограничения: \(y \neq 0, y \neq 2\).
Приведем к общему знаменателю:
\((3y — 2)(y — 2) — y = 3y + 4\)
\(3y^2 — 6y — 2y + 4 — y — 3y — 4 = 0\)
\(y^2 — 4y = 0\)
\(y(y — 4) = 0\)
\(y = 4\) или \(y = 0\) — не подходит по ограничению.
Ответ: \(4\).
Алгебра
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.