ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 633 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите корни уравнения:

а) \(\frac{x^2}{x^2 + 1} = \frac{7x}{x^2 + 1}\);

б) \(\frac{y^2}{y^2 — 6y} = \frac{4(3 — 2y)}{y(6 — y)}\);

в) \(\frac{x — 2}{x + 2} = \frac{x + 3}{x — 4}\);

г) \(\frac{8y — 5}{y} = \frac{9y}{y + 2}\);

д) \(\frac{x^2 + 3}{x^2 + 1} = 2\);

е) \(\frac{3}{x^2 + 2} = \frac{1}{x}\);

ж) \(x + 2 = \frac{15}{4x + 1}\);

з) \(\frac{x^2 — 5}{x — 1} = \frac{7x + 10}{9}\).

а) Ответ: 0; 7.

б) Ответ: 2.

в) Ответ: 2/11.

г) Ответ: 1; 10.

д) Ответ: -1; 1.

е) Ответ: 2; 1.

ж) Ответ: 1; -3.25.

з) Ответ: 5; -3.5.

а) \(\frac{x^2}{x^2 + 1} = \frac{7x}{x^2 + 1}\)

Умножим обе части на \((x^2 + 1)\):
\(x^2 = 7x\)
\(x^2 — 7x = 0\)
\(x(x — 7) = 0\)
\(x = 0\) или \(x = 7\)
Ответ: \(0; 7\).

б) \(\frac{y^2}{y^2 — 6y} = \frac{4(3 — 2y)}{y(6 — y)}\)

Умножим обе части на \(y(6 — y)\):
\(-y^2 = 12 — 8y\)
\(-y^2 + 8y — 12 = 0\)
Решим квадратное уравнение:
\(D = b^2 — 4ac = 8^2 — 4 \cdot (-1) \cdot (-12) = 64 — 48 = 16 > 0\)
\(\sqrt{D} = 4\)
\(y_1 = \frac{-8 + 4}{2 \cdot (-1)} = 2\)
\(y_2 = \frac{-8 — 4}{2 \cdot (-1)} = 6\) (не подходит по ограничению).
Ответ: \(2\).

в) \(\frac{x — 2}{x + 2} = \frac{x + 3}{x — 4}\)

Перемножим крест-накрест:
\((x — 2)(x — 4) = (x + 3)(x + 2)\)
\(x^2 — 4x — 2x + 8 = x^2 + 2x + 3x + 6\)
\(-11x + 2 = 0\)
\(x = \frac{-2}{-11} = \frac{2}{11}\)
Ответ: \(\frac{2}{11}\).

г) \(\frac{8y — 5}{y} = \frac{9y}{y + 2}\)

Умножим обе части на \(y(y + 2)\):
\((8y — 5)(y + 2) = 9y^2\)
\(8y^2 + 16y — 5y — 10 — 9y^2 = 0\)
\(-y^2 + 11y — 10 = 0\)
Решим квадратное уравнение:
\(D = b^2 — 4ac = 11^2 — 4 \cdot (-1) \cdot (-10) = 121 — 40 = 81 > 0\)
\(\sqrt{D} = 9\)
\(y_1 = \frac{-11 + 9}{2 \cdot (-1)} = 1\)
\(y_2 = \frac{-11 — 9}{2 \cdot (-1)} = 10\)
Ответ: \(1; 10\).

д) \(\frac{x^2 + 3}{x^2 + 1} = 2\)

Умножим обе части на \(x^2 + 1\):
\(x^2 + 3 = 2(x^2 + 1)\)
\(x^2 + 3 = 2x^2 + 2\)
\(-x^2 + 1 = 0\)
\(x^2 — 1 = 0\)
\((x — 1)(x + 1) = 0\)
\(x = 1\) или \(x = -1\)
Ответ: \(-1; 1\).

е) \(\frac{3}{x^2 + 2} = \frac{1}{x}\)

Умножим обе части на \(x(x^2 + 2)\):
\(3x = x^2 + 2\)
\(x^2 — 3x + 2 = 0\)
Решим квадратное уравнение:
\(D = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 — 8 = 1 > 0\)
\(\sqrt{D} = 1\)
\(x_1 = \frac{3 + 1}{2} = 2\)
\(x_2 = \frac{3 — 1}{2} = 1\)
Ответ: \(2; 1\).

ж) \(x + 2 = \frac{15}{4x + 1}\)

Умножим обе части на \(4x + 1\):
\((x + 2)(4x + 1) = 15\)
\(4x^2 + x + 8x + 2 = 15\)
\(4x^2 + 9x — 13 = 0\)
Решим квадратное уравнение:
\(D = 9^2 — 4 \cdot 4 \cdot (-13) = 81 + 208 = 289 > 0\)
\(\sqrt{D} = 17\)
\(x_1 = \frac{-9 + 17}{2 \cdot 4} = 1\)
\(x_2 = \frac{-9 — 17}{2 \cdot 4} = -3.25\)
Ответ: \(1; -3.25\).

з) \(\frac{x^2 — 5}{x — 1} = \frac{7x + 10}{9}\)

Умножим обе части на \(9(x — 1)\):
\((x^2 — 5)9 = (x — 1)(7x + 10)\)
\(9x^2 — 45 = 7x^2 + 10x — 7x — 10\)
\(2x^2 — 3x — 35 = 0\)
Решим квадратное уравнение:
\(D = (-3)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-35) = 9 + 280 = 289 > 0\)
\(\sqrt{D} = 17\)
\(x_1 = \frac{3 + 17}{2 \cdot 2} = 5\)
\(x_2 = \frac{3 — 17}{2 \cdot 2} = -3.5\)
Ответ: \(5; -3.5\).