Учебник по математике для 8 класса авторов Макарычева и Миндюк является одним из самых популярных пособий в школьной программе. Он сочетает в себе доступное объяснение материала, разнообразные примеры и задания, что делает его незаменимым помощником для учащихся. Давайте рассмотрим основные особенности этого учебника.
Основные особенности учебника
- Структурированность материала
Учебник разделен на логические разделы, которые охватывают все ключевые темы 8 класса. Каждая глава начинается с краткого введения, что помогает учащимся понять, что они будут изучать. - Доступные объяснения
Авторы стараются объяснять сложные концепции простым и понятным языком. Это позволяет учащимся легче усваивать материал и применять его на практике. - Разнообразие задач
В учебнике представлено множество задач разного уровня сложности. Это позволяет учителям адаптировать задания под уровень подготовки класса и индивидуальные потребности учеников. - Практические примеры
Учебник содержит множество примеров из реальной жизни, что помогает учащимся видеть практическое применение математических знаний. Это делает процесс обучения более интересным и увлекательным. - Контрольные работы и тесты
В конце каждой главы предусмотрены контрольные задания, которые позволяют проверить усвоение материала. Это способствует подготовке к контрольным работам и экзаменам.
Заключение
Учебник по математике для 8 класса Макарычева и Миндюк — это качественное пособие, которое сочетает в себе теорию и практику. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе. Благодаря структурированному подходу и разнообразию заданий, этот учебник станет надежным помощником для каждого ученика, стремящегося к успеху в математике.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 631 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Найдите корни уравнения:
a)
\[
\frac{y^2}{y+3} = \frac{y}{y+3};
\]
б)
\[
\frac{x^2}{x^2-4} = \frac{5x-6}{x^2-4};
\]
в)
\[
\frac{2x^2}{x-2} = \frac{-7x+6}{2-x};
\]
г)
\[
\frac{y^2 — 6y}{y-5} = \frac{5}{5-y};
\]
д)
\[
\frac{2x-1}{x+7} = \frac{3x+4}{x-1};
\]
е)
\[
\frac{2y+3}{2y-1} = \frac{y-5}{y+3};
\]
ж)
\[
\frac{5y+1}{y+1} = \frac{y+2}{y};
\]
з)
\[
\frac{1+3x}{1-2x} = \frac{5-3x}{1+2x};
\]
и)
\[
\frac{x-1}{2x+3} — \frac{2x-1}{3-2x} = 0.
\]
a) \(0; 1\)
б) \(3\)
в) \(1.5\)
г) \(1\)
д) \(-1; -27\)
е) \(-0.2\)
ж) \(-0.5; 1\)
з) \(\frac{2}{9}\)
и) \(0; \frac{1}{6}\)
Уравнение a:
\(\frac{y^2}{y+3} = \frac{y}{y+3}\)
Умножим на \((y+3)\), где \(y \neq -3\):
\(y^2 = y\)
\(y^2 — y = 0\)
\(y(y — 1) = 0\)
\(y = 0\) или \(y — 1 = 0\)
\(y = 1\)
Ответ: 0; 1.
Уравнение б:
\(\frac{x^2}{x^2-4} = \frac{5x-6}{x^2-4}\)
Умножим на \((x^2 — 4)\), где \(x \neq 2, x \neq -2\):
\(x^2 = 5x — 6\)
\(x^2 — 5x + 6 = 0\)
Дискриминант:
\(D = (-5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 — 24 = 1\)
\(\sqrt{D} = 1\)
\(x_1 = \frac{5+1}{2} = 3\)
\(x_2 = \frac{5-1}{2} = 2\) (не подходит по ограничению)
Ответ: 3.
Уравнение в:
\(\frac{2x^2}{x-2} = \frac{-7x+6}{2-x}\)
Приведем знаменатели к общему виду: \((x-2)\).
\(2x^2 = -(-7x + 6)\)
\(2x^2 = 7x — 6\)
\(2x^2 — 7x + 6 = 0\)
Дискриминант:
\(D = (-7)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 6 = 49 — 48 = 1\)
\(\sqrt{D} = 1\)
\(x_1 = \frac{7+1}{4} = 2\) (не подходит по ограничению)
\(x_2 = \frac{7-1}{4} = 1.5\)
Ответ: 1.5.
Уравнение г:
\(\frac{y^2 — 6y}{y-5} = \frac{5}{5-y}\)
Умножим на \((y-5)\), где \(y \neq 5\):
\(y^2 — 6y = -5\)
\(y^2 — 6y + 5 = 0\)
Дискриминант:
\(D = (-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 — 20 = 16\)
\(\sqrt{D} = 4\)
\(y_1 = \frac{6+4}{2} = 5\) (не подходит по ограничению)
\(y_2 = \frac{6-4}{2} = 1\)
Ответ: 1.
Уравнение д:
\(\frac{2x-1}{x+7} = \frac{3x+4}{x-1}\)
Умножим на \((x+7)(x-1)\), где \(x \neq -7, x \neq 1\):
\((2x-1)(x-1) = (3x+4)(x+7)\)
Раскроем скобки:
\(2x^2 — 2x — x + 1 = 3x^2 + 21x + 4x + 28\)
\(2x^2 — 3x + 1 = 3x^2 + 25x + 28\)
\(-x^2 — 28x — 27 = 0\)
Дискриминант:
\(D = (-28)^2 — 4 \cdot (-1) \cdot (-27) = 784 — 108 = 676\)
\(\sqrt{D} = 26\)
\(x_1 = \frac{-28+26}{-2} = -1\)
\(x_2 = \frac{-28-26}{-2} = -27\)
Ответ: -1; -27.
Уравнение е:
\(\frac{2y+3}{2y-1} = \frac{y-5}{y+3}\)
Умножим на \((2y-1)(y+3)\), где \(y \neq -3, y \neq 0.5\):
\((2y+3)(y+3) = (2y-1)(y-5)\)
Раскроем скобки:
\(2y^2 + 6y + 3y + 9 = 2y^2 — 10y — y + 5\)
\(2y^2 + 9y + 9 = 2y^2 — 11y + 5\)
\(20y + 4 = 0\)
\(y = -\frac{4}{20} = -0.2\)
Ответ: -0.2.
Уравнение ж:
\(\frac{5y+1}{y+1} = \frac{y+2}{y}\)
Умножим на \((y+1)y\), где \(y \neq -1, y \neq 0\):
\((5y+1)y = (y+2)(y+1)\)
Раскроем скобки:
\(5y^2 + y = y^2 + 3y + 2\)
\(4y^2 — 2y — 2 = 0\)
Дискриминант:
\(D = (-2)^2 — 4 \cdot 4 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9\)
\(\sqrt{D} = 3\)
\(y_1 = \frac{1+3}{4} = 1\)
\(y_2 = \frac{1-3}{4} = -0.5\)
Ответ: -0.5; 1.
Уравнение з:
\(\frac{1+3x}{1-2x} = \frac{5-3x}{1+2x}\)
Умножим на \((1-2x)(1+2x)\), где \(x \neq 0.5, x \neq -0.5\):
\((1+3x)(1+2x) = (5-3x)(1-2x)\)
Раскроем скобки:
\(1 + 2x + 3x + 6x^2 = 5 — 10x — 3x + 6x^2\)
\(18x — 4 = 0\)
\(x = \frac{4}{18} = \frac{2}{9}\)
Ответ: \(\frac{2}{9}\).
Уравнение и:
\(\frac{x-1}{2x+3} — \frac{2x-1}{3-2x} = 0\)
Приведем к общему знаменателю:
\((x-1)(3-2x) = (2x-1)(2x+3)\)
Раскроем скобки:
\(3x — 2x^2 — 3 + 2x = 4x^2 + 6x — 2x — 3\)
\(-6x^2 + x = 0\)
Вынесем \(x\) за скобки:
\(x(-6x + 1) = 0\)
\(x = 0\) или \(-6x + 1 = 0\)
\(x = \frac{1}{6}\)
Ответ: 0; \(\frac{1}{6}\).
Алгебра
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.