ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 623 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Покажите, что существует квадратный трёхчлен, имеющий корни, коэффициенты которого — натуральные числа вида \( n \), \( 2n \), \( 3n \) (расположенные в произвольном порядке). Разложите этот трёхчлен на множители.

\( nx^2 + 3nx + 2n = 0 \)
\( D = b^2 — 4ac = (3n)^2 — 4 \cdot n \cdot 2n = 9n^2 — 8n^2 = n^2 > 0 \)
\( \sqrt{D} = n \)

\[
x_1 = \frac{-3n + n}{2n} = \frac{-2n}{2n} = -1
\]

\[
x_2 = \frac{-3n — n}{2n} = \frac{-4n}{2n} = -2
\]

\( nx^2 + 3nx + 2n = n(x + 1)(x + 2) \)

Рассмотрим квадратное уравнение:

\( nx^2 + 3nx + 2n = 0 \)

Шаг 1: Вычисление дискриминанта

Формула дискриминанта:

\( D = b^2 — 4ac \)

Подставляем коэффициенты:

\( D = (3n)^2 — 4 \cdot n \cdot 2n \)

Выполняем вычисления:

\( D = 9n^2 — 8n^2 = n^2 \)

Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два различных корня.

Шаг 2: Вычисление корней

Формула для нахождения корней квадратного уравнения:

\( x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \)

Подставляем значения:

Для первого корня:

\( x_1 = \frac{-3n + \sqrt{n^2}}{2n} = \frac{-3n + n}{2n} = \frac{-2n}{2n} = -1 \)

Для второго корня:

\( x_2 = \frac{-3n — \sqrt{n^2}}{2n} = \frac{-3n — n}{2n} = \frac{-4n}{2n} = -2 \)

Шаг 3: Разложение на множители

Уравнение можно записать в виде:

\( nx^2 + 3nx + 2n = n(x + 1)(x + 2) \)

Ответ

Квадратный трёхчлен \( nx^2 + 3nx + 2n \) имеет корни \( x_1 = -1 \) и \( x_2 = -2 \), а его разложение на множители:

\( n(x + 1)(x + 2) \)