Учебник по математике для 8 класса авторов Макарычева и Миндюк является одним из самых популярных пособий в школьной программе. Он сочетает в себе доступное объяснение материала, разнообразные примеры и задания, что делает его незаменимым помощником для учащихся. Давайте рассмотрим основные особенности этого учебника.
Основные особенности учебника
- Структурированность материала
Учебник разделен на логические разделы, которые охватывают все ключевые темы 8 класса. Каждая глава начинается с краткого введения, что помогает учащимся понять, что они будут изучать. - Доступные объяснения
Авторы стараются объяснять сложные концепции простым и понятным языком. Это позволяет учащимся легче усваивать материал и применять его на практике. - Разнообразие задач
В учебнике представлено множество задач разного уровня сложности. Это позволяет учителям адаптировать задания под уровень подготовки класса и индивидуальные потребности учеников. - Практические примеры
Учебник содержит множество примеров из реальной жизни, что помогает учащимся видеть практическое применение математических знаний. Это делает процесс обучения более интересным и увлекательным. - Контрольные работы и тесты
В конце каждой главы предусмотрены контрольные задания, которые позволяют проверить усвоение материала. Это способствует подготовке к контрольным работам и экзаменам.
Заключение
Учебник по математике для 8 класса Макарычева и Миндюк — это качественное пособие, которое сочетает в себе теорию и практику. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе. Благодаря структурированному подходу и разнообразию заданий, этот учебник станет надежным помощником для каждого ученика, стремящегося к успеху в математике.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 610 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Даны квадратные трёхчлены
\(x^2 — 6x + 11\) и \(-x^2 + 6x — 11\).
Докажите, что первый из них не принимает отрицательных значений, а второй — положительных.
\(x^2 — 6x + 11 = x^2 — 6x + 9 — 9 + 11 = (x — 3)^2 + 2 > 0\)
\(-x^2 + 6x — 11 = -(x^2 — 6x + 11) = -(x^2 — 6x + 9 — 9 + 11) =\)
\(-((x — 3)^2 + 2) < 0\).
Доказано.
1. Первый трёхчлен: \(x^2 — 6x + 11\)
Выполним преобразование:
\[
x^2 — 6x + 11 = x^2 — 6x + 9 — 9 + 11 = (x — 3)^2 + 2
\]
Квадрат любого числа \((x — 3)^2\) всегда неотрицателен (\((x — 3)^2 \geq 0\)). Прибавляя к нему 2, получаем:
\[
(x — 3)^2 + 2 \geq 2 > 0
\]
Таким образом, \(x^2 — 6x + 11 > 0\) для всех значений \(x\), и трёхчлен не принимает отрицательных значений.
2. Второй трёхчлен: \(-x^2 + 6x — 11\)
Заметим, что второй трёхчлен является противоположным первому:
\[
-x^2 + 6x — 11 = -(x^2 — 6x + 11)
\]
Подставляем выражение для первого трёхчлена:
\[
-(x^2 — 6x + 11) = -((x — 3)^2 + 2) = -(x — 3)^2 — 2
\]
Так как \((x — 3)^2 \geq 0\), то \(-(x — 3)^2 \leq 0\). Прибавляя к этому отрицательному числу \(-2\), мы получаем:
\[
-(x — 3)^2 — 2 \leq -2 < 0
\]
Таким образом, \(-x^2 + 6x — 11 < 0\) для всех значений \(x\), и трёхчлен не принимает положительных значений.
Вывод
Доказано, что:
- Первый трёхчлен \(x^2 — 6x + 11\) не принимает отрицательных значений.
- Второй трёхчлен \(-x^2 + 6x — 11\) не принимает положительных значений.
Алгебра
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.