ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 610 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Даны квадратные трёхчлены
\(x^2 — 6x + 11\) и \(-x^2 + 6x — 11\).
Докажите, что первый из них не принимает отрицательных значений, а второй — положительных.

\(x^2 — 6x + 11 = x^2 — 6x + 9 — 9 + 11 = (x — 3)^2 + 2 > 0\)

\(-x^2 + 6x — 11 = -(x^2 — 6x + 11) = -(x^2 — 6x + 9 — 9 + 11) =\)

\(-((x — 3)^2 + 2) < 0\).

Доказано.

1. Первый трёхчлен: \(x^2 — 6x + 11\)

Выполним преобразование:

\[
x^2 — 6x + 11 = x^2 — 6x + 9 — 9 + 11 = (x — 3)^2 + 2
\]

Квадрат любого числа \((x — 3)^2\) всегда неотрицателен (\((x — 3)^2 \geq 0\)). Прибавляя к нему 2, получаем:

\[
(x — 3)^2 + 2 \geq 2 > 0
\]

Таким образом, \(x^2 — 6x + 11 > 0\) для всех значений \(x\), и трёхчлен не принимает отрицательных значений.

2. Второй трёхчлен: \(-x^2 + 6x — 11\)

Заметим, что второй трёхчлен является противоположным первому:

\[
-x^2 + 6x — 11 = -(x^2 — 6x + 11)
\]

Подставляем выражение для первого трёхчлена:

\[
-(x^2 — 6x + 11) = -((x — 3)^2 + 2) = -(x — 3)^2 — 2
\]

Так как \((x — 3)^2 \geq 0\), то \(-(x — 3)^2 \leq 0\). Прибавляя к этому отрицательному числу \(-2\), мы получаем:

\[
-(x — 3)^2 — 2 \leq -2 < 0
\]

Таким образом, \(-x^2 + 6x — 11 < 0\) для всех значений \(x\), и трёхчлен не принимает положительных значений.

Вывод

Доказано, что:

• Первый трёхчлен \(x^2 — 6x + 11\) не принимает отрицательных значений.
• Второй трёхчлен \(-x^2 + 6x — 11\) не принимает положительных значений.