ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 609 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

(Для работы в парах.) Докажите, что при любом значении \(x\) квадратный трёхчлен:
а) \(x^2 — 6x + 10\) принимает положительное значение;
б) \(5x^2 — 10x + 5\) принимает неотрицательное значение;
в) \(-x^2 + 20x — 100\) принимает неположительное значение;
г) \(-2x^2 + 16x — 33\) принимает отрицательное значение;
д) \(x^2 — 0,32x + 0,0256\) принимает неотрицательное значение;
е) \(4x^2 + 0,8x + 2\) принимает положительное значение.

1) Обсудите, какие преобразования трёхчленов надо выполнить для доказательства высказанных утверждений.
2) Распределите, кто выполняет задания а), в) и д), а кто — задания б), г) и е), и выполните их.
3) Проверьте друг у друга правильность проведённых доказательств и исправьте ошибки, если они допущены.

а) \(x^2 — 6x + 10 = x^2 — 6x + 9 — 9 + 10 = (x — 3)^2 + 1 > 0\)

б) \(5x^2 — 10x + 5 = 5(x^2 — 2x + 1) = 5(x — 1)^2 \geq 0\)

в) \(-x^2 + 20x — 100 = -(x^2 — 20x + 100) = -(x — 10)^2 \leq 0\)

г) \(-2x^2 + 16x — 33 = -2(x^2 — 8x + 16,5) =\)

\(-2(x^2 — 8x + 16 — 16 + 16,5) =\)

\(-2((x — 4)^2 + 0,5) = -2(x — 4)^2 — 1 =\)

\(-(2(x — 4)^2 + 1) < 0\)

д) \(x^2 — 0,32x + 0,0256 = (x — 0,16)^2 \geq 0\)

е) \(4x^2 + 0,8x + 2 = 4(x^2 + 0,2x + 0,5) =\)

\(4(x^2 + 0,2x + 0,01 — 0,01 + 0,5) =\)

\(4((x + 0,1)^2 + 0,49) =\)

\(4(x + 0,1)^2 + 1,96 > 0\)

а) Доказать, что \(x^2 — 6x + 10 > 0\)

Преобразуем трёхчлен:

\[
x^2 — 6x + 10 = x^2 — 6x + 9 — 9 + 10 = (x — 3)^2 + 1
\]

Квадрат любого числа \((x — 3)^2 \geq 0\), а добавление 1 делает выражение всегда положительным. Следовательно, \(x^2 — 6x + 10 > 0\) при любом \(x\).

б) Доказать, что \(5x^2 — 10x + 5 \geq 0\)

Вынесем общий множитель 5:

\[
5x^2 — 10x + 5 = 5(x^2 — 2x + 1) = 5(x — 1)^2
\]

Так как \((x — 1)^2 \geq 0\), то \(5(x — 1)^2 \geq 0\). Следовательно, \(5x^2 — 10x + 5 \geq 0\) при любом \(x\).

в) Доказать, что \(-x^2 + 20x — 100 \leq 0\)

Вынесем минус за скобки:

\[
-x^2 + 20x — 100 = -(x^2 — 20x + 100) = -(x — 10)^2
\]

Квадрат любого числа \((x — 10)^2 \geq 0\), а перед ним стоит минус, поэтому \(-(x — 10)^2 \leq 0\). Следовательно, \(-x^2 + 20x — 100 \leq 0\) при любом \(x\).

г) Доказать, что \(-2x^2 + 16x — 33 < 0\)

Вынесем \(-2\) за скобки:

\[
-2x^2 + 16x — 33 = -2(x^2 — 8x + 16,5) = -2((x — 4)^2 + 0,5)
\]

Так как \((x — 4)^2 \geq 0\), то \((x — 4)^2 + 0,5 > 0\). Умножение на \(-2\) делает выражение отрицательным. Следовательно, \(-2x^2 + 16x — 33 < 0\) при любом \(x\).

д) Доказать, что \(x^2 — 0,32x + 0,0256 \geq 0\)

Преобразуем трёхчлен:

\[
x^2 — 0,32x + 0,0256 = (x — 0,16)^2
\]

Квадрат любого числа \((x — 0,16)^2 \geq 0\). Следовательно, \(x^2 — 0,32x + 0,0256 \geq 0\) при любом \(x\).

е) Доказать, что \(4x^2 + 0,8x + 2 > 0\)

Вынесем 4 за скобки:

\[
4x^2 + 0,8x + 2 = 4(x^2 + 0,2x + 0,5) = 4((x + 0,1)^2 + 0,49)
\]

Квадрат любого числа \((x + 0,1)^2 \geq 0\), а добавление 0,49 делает выражение положительным. Умножение на 4 сохраняет знак. Следовательно, \(4x^2 + 0,8x + 2 > 0\) при любом \(x\).