Учебник по математике для 8 класса авторов Макарычева и Миндюк является одним из самых популярных пособий в школьной программе. Он сочетает в себе доступное объяснение материала, разнообразные примеры и задания, что делает его незаменимым помощником для учащихся. Давайте рассмотрим основные особенности этого учебника.
Основные особенности учебника
- Структурированность материала
Учебник разделен на логические разделы, которые охватывают все ключевые темы 8 класса. Каждая глава начинается с краткого введения, что помогает учащимся понять, что они будут изучать. - Доступные объяснения
Авторы стараются объяснять сложные концепции простым и понятным языком. Это позволяет учащимся легче усваивать материал и применять его на практике. - Разнообразие задач
В учебнике представлено множество задач разного уровня сложности. Это позволяет учителям адаптировать задания под уровень подготовки класса и индивидуальные потребности учеников. - Практические примеры
Учебник содержит множество примеров из реальной жизни, что помогает учащимся видеть практическое применение математических знаний. Это делает процесс обучения более интересным и увлекательным. - Контрольные работы и тесты
В конце каждой главы предусмотрены контрольные задания, которые позволяют проверить усвоение материала. Это способствует подготовке к контрольным работам и экзаменам.
Заключение
Учебник по математике для 8 класса Макарычева и Миндюк — это качественное пособие, которое сочетает в себе теорию и практику. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе. Благодаря структурированному подходу и разнообразию заданий, этот учебник станет надежным помощником для каждого ученика, стремящегося к успеху в математике.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 60 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Докажите, что:
а) выражение
\[
\frac{(a + b)^2}{ab} — \frac{(a — b)^2}{ab}
\]
тождественно равно 4;
б) выражение
\[
\frac{(a + b)^2}{a^2 + b^2} + \frac{(a — b)^2}{a^2 + b^2}
\]
тождественно равно 2.
a)
\[
\frac{(a+b)^2}{ab} — \frac{(a-b)^2}{ab} = \frac{(a+b)^2 — (a-b)^2}{ab} =\]
\[\frac{(a^2 + 2ab + b^2) — (a^2 — 2ab + b^2)}{ab} =\]
\[\frac{a^2 + 2ab + b^2 — a^2 + 2ab — b^2}{ab} = \frac{4ab}{ab} = 4\]
б)
\[
\frac{(a+b)^2}{a^2 + b^2} + \frac{(a-b)^2}{a^2 + b^2} = \frac{(a+b)^2 + (a-b)^2}{a^2 + b^2} =\]
\[\frac{a^2 + 2ab + b^2 + a^2 — 2ab + b^2}{a^2 + b^2} =\]
\[\frac{2(a^2 + b^2)}{a^2 + b^2} = 2
\]
а) Доказать, что выражение
\[
\frac{(a + b)^2}{ab} — \frac{(a — b)^2}{ab}
\]
тождественно равно 4.
\frac{(a + b)^2}{ab} — \frac{(a — b)^2}{ab} = \frac{(a + b)^2 — (a — b)^2}{ab}
\]
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
\]
\[
(a — b)^2 = a^2 — 2ab + b^2
\]
(a + b)^2 — (a — b)^2 = (a^2 + 2ab + b^2) — (a^2 — 2ab + b^2)
\]
a^2 + 2ab + b^2 — a^2 + 2ab — b^2 = 2ab + 2ab = 4ab
\]
\frac{4ab}{ab} = 4
\]
Вывод: выражение тождественно равно 4.
б) Доказать, что выражение
\[
\frac{(a + b)^2}{a^2 + b^2} + \frac{(a — b)^2}{a^2 + b^2}
\]
тождественно равно 2.
\frac{(a + b)^2}{a^2 + b^2} + \frac{(a — b)^2}{a^2 + b^2} = \frac{(a + b)^2 + (a — b)^2}{a^2 + b^2}
\]
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
\]
\[
(a — b)^2 = a^2 — 2ab + b^2
\]
(a + b)^2 + (a — b)^2 = (a^2 + 2ab + b^2) + (a^2 — 2ab + b^2)
\]
a^2 + 2ab + b^2 + a^2 — 2ab + b^2 = a^2 + a^2 + b^2 + b^2 + (2ab — 2ab) =\]
\]
\frac{2a^2 + 2b^2}{a^2 + b^2} = \frac{2(a^2 + b^2)}{a^2 + b^2} = 2
\]
Вывод: выражение тождественно равно 2.
Алгебра
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.