Учебник по математике для 8 класса авторов Макарычева и Миндюк является одним из самых популярных пособий в школьной программе. Он сочетает в себе доступное объяснение материала, разнообразные примеры и задания, что делает его незаменимым помощником для учащихся. Давайте рассмотрим основные особенности этого учебника.
Основные особенности учебника
- Структурированность материала
Учебник разделен на логические разделы, которые охватывают все ключевые темы 8 класса. Каждая глава начинается с краткого введения, что помогает учащимся понять, что они будут изучать. - Доступные объяснения
Авторы стараются объяснять сложные концепции простым и понятным языком. Это позволяет учащимся легче усваивать материал и применять его на практике. - Разнообразие задач
В учебнике представлено множество задач разного уровня сложности. Это позволяет учителям адаптировать задания под уровень подготовки класса и индивидуальные потребности учеников. - Практические примеры
Учебник содержит множество примеров из реальной жизни, что помогает учащимся видеть практическое применение математических знаний. Это делает процесс обучения более интересным и увлекательным. - Контрольные работы и тесты
В конце каждой главы предусмотрены контрольные задания, которые позволяют проверить усвоение материала. Это способствует подготовке к контрольным работам и экзаменам.
Заключение
Учебник по математике для 8 класса Макарычева и Миндюк — это качественное пособие, которое сочетает в себе теорию и практику. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе. Благодаря структурированному подходу и разнообразию заданий, этот учебник станет надежным помощником для каждого ученика, стремящегося к успеху в математике.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 59 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Выполните действие:
a) \(\frac{16}{x-4} — \frac{x^2}{x-4}\);
б) \(\frac{25}{a+5} — \frac{a^2}{a+5}\);
в) \(\frac{3a-1}{a^2-b^2} — \frac{3b-1}{a^2-b^2}\);
г) \(\frac{x-3}{x^2-64} + \frac{11}{x^2-64}\);
д) \(\frac{2a+b}{(a-b)^2} — \frac{2b-5a}{(a-b)^2}\);
е) \(\frac{13x+6y}{(x+y)^2} — \frac{11x+4y}{(x+y)^2}\).
a) \(\frac{16}{x-4} — \frac{x^2}{x-4} = \frac{16-x^2}{x-4} = \frac{(4-x)(4+x)}{-(4-x)} = -(4+x) = -4-x\)
б) \(\frac{25}{a+5} — \frac{a^2}{a+5} = \frac{25-a^2}{a+5} = \frac{(5-a)(5+a)}{a+5} = 5-a\)
в) \(\frac{3a-1}{a^2-b^2} — \frac{3b-1}{a^2-b^2} = \frac{3a-1-(3b-1)}{a^2-b^2} = \frac{3a-1-3b+1}{a^2-b^2} = \frac{3(a-b)}{(a-b)(a+b)} = \frac{3}{a+b}\)
г) \(\frac{x-3}{x^2-64} + \frac{11}{x^2-64} = \frac{x-3+11}{x^2-64} = \frac{x+8}{(x-8)(x+8)} = \frac{1}{x-8}\)
д) \(\frac{2a+b}{(a-b)^2} — \frac{2b-5a}{(a-b)^2} = \frac{2a+b-(2b-5a)}{(a-b)^2} = \frac{2a+b-2b+5a}{(a-b)^2} = \frac{7a-b}{(a-b)^2}\)
е) \(\frac{13x+6y}{(x+y)^2} — \frac{11x+4y}{(x+y)^2} = \frac{13x+6y-(11x+4y)}{(x+y)^2} = \frac{2(x+y)}{(x+y)^2} = \frac{2}{x+y}\)
a) \(\frac{16}{x-4} — \frac{x^2}{x-4}\)
\(\frac{16}{x-4} — \frac{x^2}{x-4}\)
Общий знаменатель: \(x-4\).
Объединяем дроби:
\(\frac{16 — x^2}{x-4}\)
Числитель можно разложить как разность квадратов:
\(16 — x^2 = (4-x)(4+x)\)
Подставляем в дробь:
\(\frac{(4-x)(4+x)}{x-4}\)
Заметим, что \((4-x) = -(x-4)\), поэтому:
\(\frac{-(x-4)(4+x)}{x-4}\)
Сокращаем на \((x-4)\):
\(-(4+x)\)
Итоговое выражение:
\(-4-x\)
б) \(\frac{25}{a+5} — \frac{a^2}{a+5}\)
\(\frac{25}{a+5} — \frac{a^2}{a+5}\)
Общий знаменатель: \(a+5\).
Объединяем дроби:
\(\frac{25 — a^2}{a+5}\)
Числитель можно разложить как разность квадратов:
\(25 — a^2 = (5-a)(5+a)\)
Подставляем в дробь:
\(\frac{(5-a)(5+a)}{a+5}\)
Сокращаем на \((5+a)\):
\(5-a\)
в) \(\frac{3a-1}{a^2-b^2} — \frac{3b-1}{a^2-b^2}\)
\(\frac{3a-1}{a^2-b^2} — \frac{3b-1}{a^2-b^2}\)
Общий знаменатель: \(a^2-b^2\).
Объединяем дроби:
\(\frac{3a-1-(3b-1)}{a^2-b^2}\)
Упрощаем числитель:
\(3a-1-3b+1 = 3a-3b\)
\(\frac{3(a-b)}{a^2-b^2}\)
Разложение знаменателя как разности квадратов:
\(a^2-b^2 = (a-b)(a+b)\)
Подставляем в дробь:
\(\frac{3(a-b)}{(a-b)(a+b)}\)
Сокращаем на \((a-b)\):
\(\frac{3}{a+b}\)
г) \(\frac{x-3}{x^2-64} + \frac{11}{x^2-64}\)
\(\frac{x-3}{x^2-64} + \frac{11}{x^2-64}\)
Общий знаменатель: \(x^2-64\).
Объединяем дроби:
\(\frac{x-3+11}{x^2-64}\)
Упрощаем числитель:
\(x+8\)
Разложение знаменателя как разности квадратов:
\(x^2-64 = (x-8)(x+8)\)
Подставляем в дробь:
\(\frac{x+8}{(x-8)(x+8)}\)
Сокращаем на \((x+8)\):
\(\frac{1}{x-8}\)
д) \(\frac{2a+b}{(a-b)^2} — \frac{2b-5a}{(a-b)^2}\)
\(\frac{2a+b}{(a-b)^2} — \frac{2b-5a}{(a-b)^2}\)
Общий знаменатель: \((a-b)^2\).
Объединяем дроби:
\(\frac{2a+b-(2b-5a)}{(a-b)^2}\)
Упрощаем числитель:
\(2a+b-2b+5a = 7a-b\)
\(\frac{7a-b}{(a-b)^2}\)
е) \(\frac{13x+6y}{(x+y)^2} — \frac{11x+4y}{(x+y)^2}\)
\(\frac{13x+6y}{(x+y)^2} — \frac{11x+4y}{(x+y)^2}\)
Общий знаменатель: \((x+y)^2\).
Объединяем дроби:
\(\frac{13x+6y-(11x+4y)}{(x+y)^2}\)
Упрощаем числитель:
\(13x+6y-11x-4y = 2x+2y\)
\(\frac{2(x+y)}{(x+y)^2}\)
Сокращаем на \((x+y)\):
\(\frac{2}{x+y}\)
Алгебра
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.